Secțiune transversală de împrăștiere diferențială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 mai 2021; verificarea necesită 1 editare .

Secțiunea transversală diferențială de împrăștiere este raportul dintre numărul de particule împrăștiate pe unitatea de timp per element unghiular solid d W și densitatea de flux a particulelor incidente.

Scattering clasic

Dacă luăm în considerare problema clasică , atunci când o particulă este împrăștiată dintr-o particulă țintă nemișcată, atunci se utilizează de obicei sistemul de coordonate sferice . În acest caz, ținta este plasată la originea coordonatelor, iar z al acestui sistem de coordonate coincide cu fasciculul incident. Unghiul θ este unghiul de împrăștiere , măsurat între fasciculul incident și fasciculul împrăștiat, iar φ este unghiul de azimut .

Parametrul de impact b este deplasarea perpendiculară a traiectoriei particulei incidente, iar particula care iese zboară sub un unghi θ . Pentru o anumită interacțiune ( Coulomb , magnetic , gravitațional , contact și așa mai departe), parametrul de impact și unghiul de împrăștiere au o anumită dependență funcțională unu-la-unu unul de celălalt. De obicei, parametrul de impact nu poate fi nici controlat, nici măsurat de la un eveniment la altul și se presupune că ia toate valorile posibile atunci când este mediat pe un set de evenimente de împrăștiere. Dimensiunea diferențială a secțiunii transversale este un element de zonă în planul parametrului de impact, adică d σ = b d φ d b . Domeniul unghiular diferențial al unei particule împrăștiate la un unghi θ este elementul unghiular solid d Ω = sin θ d θ d φ . Secțiunea transversală diferențială este coeficientul acestor mărimi,dσ _dΩ _

Este o funcție a unghiului de împrăștiere (și, prin urmare, și a parametrului de impact), precum și a altor cantități observabile, cum ar fi impulsul particulei incidente. Se presupune întotdeauna că secțiunea transversală diferențială este pozitivă, chiar dacă parametrii de impact mai mari cauzează de obicei o deformare mai mică. În situații simetrice cilindrice (față de axa fasciculului), unghiul azimutal φ nu se modifică în timpul împrăștierii, iar secțiunea transversală diferențială poate fi scrisă ca

{\frac {\mathrm {d} \sigma {\mathrm {d} (\cos \theta )))=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d } } \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi

În alte situații în care procesul de împrăștiere nu este simetric azimutal, cum ar fi atunci când fasciculul sau particulele țintă au momente magnetice orientate perpendicular pe axa fasciculului, secțiunea transversală diferențială trebuie, de asemenea, exprimată în funcție de unghiul azimutal.

Când particulele fluxului incident F inc sunt împrăștiate dintr-o țintă imobilă constând din multe particule, secțiunea transversală diferențialădσ _dΩ _la un unghi ( θ , φ ) este legat de fluxul de detecție al particulelor împrăștiate F out ( θ , φ ) în particule pe unitatea de timp prin relația

{\frac {\mathrm {d} \sigma {\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega}}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc)))).

Aici Δ Ω este dimensiunea unghiulară finală a detectorului (unități SI: sr ), n este densitatea numerică a particulelor țintă (m -3 ) și t este grosimea țintei fixe (m). Această formulă presupune că ținta este suficient de subțire încât fiecare particulă de fascicul să interacționeze cu cel mult o particulă țintă.

Secțiunea transversală totală σ poate fi recuperată prin integrarea secțiunii transversale diferențialedσ _dΩ _peste unghiul solid complet ( 4π steradiani):

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{ 0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm { d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

Este obișnuit să se omite definiția „diferențial” atunci când tipul de secțiune transversală poate fi dedus din context. În acest caz, σ poate fi numită secțiune transversală integrală sau secțiune transversală totală . Ultimul termen poate fi confuz în contexte în care sunt implicate mai multe evenimente, deoarece „total” se poate referi și la suma secțiunilor transversale din toate evenimentele.

Secțiunea transversală diferențială este o cantitate extrem de utilă în multe domenii ale fizicii, deoarece măsurarea ei poate dezvălui o cantitate mare de informații despre structura internă a particulelor țintă. De exemplu, secțiunea transversală diferențială a împrăștierii Rutherford a fost o dovadă convingătoare a existenței unui nucleu atomic. În locul unghiului solid, impulsul transferat poate fi folosit ca variabilă independentă a secțiunilor transversale diferențiale .

Secțiunile transversale diferențiale pentru împrăștierea inelastică conțin vârfuri de rezonanță care indică crearea stărilor metastabile și conțin informații despre energia lor și durata de viață a stărilor.

Imprăștirea cuantică

În formalismul independent de timp al împrăștierii cuantice , funcția de undă inițială (înainte de împrăștiere) este luată ca o undă plană cu un anumit impuls k :

\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},

unde z și r sunt coordonate relative între proiectil și țintă. Săgeata indică faptul că aceasta descrie doar comportamentul asimptotic al funcției de undă atunci când proiectilul și ținta sunt prea îndepărtate pentru ca interacțiunea să aibă vreun efect.

După împrăștiere, funcția de undă este de așteptat să aibă următoarele asimptotice:

\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta,\phi ){\frac {e^{ ikr}}{r}},

unde f este o funcție a coordonatelor unghiulare, cunoscută sub numele de amplitudine de împrăștiere . Această formă generală este valabilă pentru orice interacțiune cu rază scurtă de conservare a energiei. Acest lucru nu este valabil pentru interacțiunile pe distanță lungă, așa că există dificultăți suplimentare atunci când se confruntă cu interacțiunile electromagnetice.

Funcția de undă totală a sistemului se comportă asimptotic ca suma a două contribuții

\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+ }(\mathbf {r}).

Secțiunea transversală diferențială este legată de amplitudinea de împrăștiere prin formula:

{\frac {\mathrm {d} \sigma {\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr | }^{2}.

Care are o interpretare simplă ca densitatea probabilității de a găsi un proiectil împrăștiat la un unghi dat.

Relația cu matricea S

Dacă masele și momentele reduse ale sistemului de ciocnire sunt egale cu m i , p i și m f , p f înainte și respectiv după ciocnire, secțiunea transversală diferențială este dată de

{\frac {\mathrm {d} \sigma {\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},

Matricea T este definită de formula

S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{i} -\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}

din punct de vedere al matricei S. Aici δ este funcția delta Dirac . Calculul matricei S este obiectivul principal al teoriei împrăștierii .

Literatură

Bilen'kii S. M. Scattering of microparticles // Physical Encyclopedia : [in 5 volumes] / Ch. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 p. - 40.000 de exemplare. - ISBN 5-85270-087-8 .