Interval de încredere pentru varianța normală a eșantionului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 iunie 2018; verificările necesită 3 modificări .

Cazul mediu cunoscut

Fie un eșantion independent dintr-o distribuție normală , unde este media cunoscută . Să definim un arbitrar și să construim - un interval de încredere pentru o varianță necunoscută . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\alpha \in[0,1]$ $\alfa$ $\sigma ^{2}$

Afirmație. Valoare aleatoare

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

are o distributie . Fie — cuantila acestei distribuții . Atunci noi avem: $\chi ^{2}(n)$ $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(\chi _{1-{\frac {\alpha {2}),n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha

După înlocuirea expresiei cu și transformări algebrice simple, obținem: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\ frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i }-\mu )^{2)){\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\right)=1-\alpha

Cazul mediei necunoscute

Fie un eșantion independent dintr-o distribuție normală, unde și sunt constante necunoscute. Să construim un interval de încredere pentru varianța necunoscută . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\sigma ^{2}$

Teorema lui Fisher pentru probe normale . Valoare aleatoare

H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}

unde este varianța eșantionului imparțial , are o distribuție . Atunci noi avem: $S^{2}$ $\chi ^{2}(n-1)$

\mathbb {P} \left(\chi _({\frac {\alpha {2)),n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac { \alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=1-\alpha

După înlocuirea expresiei cu și transformări algebrice simple, obținem: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha {2}},n-1}^ {2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2)){\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1 }^{2}}}\right)=1-\alpha

Link -uri

http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htm _