Interval de încredere pentru valoarea așteptată a unui eșantion normal

Caz de variație cunoscut

Fie un eșantion independent din distribuția normală , unde este varianța cunoscută a . Să definim un arbitrar și să construim un interval de încredere pentru media necunoscută . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\sigma ^{2}$ $\alpha \in[0,1]$ $\mu$

Afirmație. Valoare aleatoare

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

are o distribuție normală standard . Fie — cuantila distribuției normale standard . Apoi, datorită simetriei acestuia din urmă, avem: $\mathrm {N} (0,1)$ $z_{\alpha }$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\right)= 1-\alfa

După înlocuirea expresiei cu și transformări algebrice simple, obținem: $Z$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \ mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha

Caz de variație necunoscută

Fie un eșantion independent dintr-o distribuție normală, unde sunt constante necunoscute. Să construim un interval de încredere pentru media necunoscută . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu ,\sigma ^{2}$ $\mu$

Afirmație. Valoare aleatoare

T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}

unde este abaterea standard eșantionului imparțial, are o distribuție Student cu grade de libertate . Fie — cuantilele distribuției lui Student . Apoi, datorită simetriei acestuia din urmă, avem: $S$ $n-1$ $\mathrm {t} (n-1)$ $t_{\alpha ,n-1}$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2)), n-1}\right)=1-\alpha

După înlocuirea expresiei cu și transformări algebrice simple, obținem: $T$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}} \leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right )=1-\alpha