Problema Minkowski

Problema lui Minkowski:

dacă există o hipersuprafață convexă închisă a cărei curbură gaussiană este o funcție dată a vectorului normal către exterior . $F$ $G(n)$ $n$

Afirmat de Minkowski , care deține soluția generalizată a problemei în sensul că aceasta nu conține nicio informație despre natura regularității , chiar dacă este o funcție analitică . El a demonstrat că dacă o funcție pozitivă continuă definită pe hipersfera unitară satisface condiția $F$ $G(n)$ $S$ $G(n)$

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

atunci există și, în plus, o suprafață convexă închisă unică (până la translație paralelă ) , pentru care este curbura Gaussiană într-un punct cu normala exterioară . $F$ $G(n)$ $n$

Soluția obișnuită a problemei Minkowski a fost dată de AV Pogorelov în 1971 . În special, a demonstrat că dacă aparține clasei , , atunci suprafața rezultată aparține clasei de netezime , iar în cazul analiticității, suprafața se dovedește și ea analitică. $K(n)$ $C^{m)$ $m\geq 3$ $F$ ${\displaystyle C^{m+1,\alpha ))$ $K(n)$ $F$

Variații și generalizări

Există o generalizare a problemei Minkowski pentru un spațiu riemannian [1] .

Vezi și

Teorema poliedrelor lui Minkowski

Literatură

↑ Bodrenko AI Soluția problemei Minkowski pentru suprafețele deschise din spațiul riemannian. Arhivat pe 21 februarie 2020 pe Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

Minkowski H. Volumen und Oberflache, Mathematische Annalen 57 (1903) 447-495
Pogorelov A. V., Problema multidimensională a lui Minkowski, Moscova, 1971;
Buseman G. Suprafeţe convexe. — 1964.