Problemă cu cerealele pe o tablă de șah

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 decembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Problema granulelor pe o tabla de sah  este o problema de matematica in care se calculeaza cate boabe vor fi pe o tabla de sah daca pui de doua ori mai multe boabe pe fiecare celula urmatoare a tablei decat pe cea precedenta, incepand de la una.

De regulă, problema este rezolvată pentru o placă standard cu 64 de celule; când numărul de boabe de pe fiecare celulă ulterioară este dublat, suma de boabe de pe toate cele 64 de celule este determinată de expresia:

,

care este 18.446.744.073.709.551.615 .

Problema și variațiile ei sunt folosite pentru a demonstra rata mare de creștere a secvențelor exponențiale .

Originile problemei

Deși detaliile descrierii sarcinii diferă în diferite surse, esența rămâne aceeași. Conform uneia dintre legende, șahul a fost inventat de un înțelept pe nume Sissa , care și-a arătat invenția conducătorului țării. Lui Tom i-a plăcut jocul atât de mult încât i-a dat inventatorului dreptul de a alege singur recompensa. Înțeleptul i-a cerut regelui pentru prima celulă a tablei de șah să-i plătească un bob de grâu , pentru al doilea - doi, pentru a treia - patru și așa mai departe, dublând numărul de boabe de pe fiecare celulă următoare. Domnitorul, care nu înțelegea matematica, a fost rapid de acord, chiar oarecum jignit de o estimare atât de scăzută a invenției și a ordonat trezorierului să calculeze și să dea inventatorului cantitatea potrivită de cereale. Cu toate acestea, când o săptămână mai târziu, vistiernicul încă nu a putut calcula de câte boabe erau necesare, domnitorul a întrebat care este motivul unei astfel de întârzieri. Trezorierul i-a arătat calculele și i-a spus că nu se poate plăti decât să se scurgă mările și oceanele și să semăneze tot spațiul cu grâu.

Cantitatea de cereale este de aproximativ 1.800 de ori recolta mondială de grâu pe an (în anul agricol 2008/09, recolta a fost de 686 milioane de tone [1] ), adică depășește întreaga recoltă de grâu recoltată în întreaga istorie a omenirii . Numărul de boabe este de aproximativ 0,0031% din numărul lui Avogadro . În unități de masă: dacă presupunem că un bob de grâu are o masă de 0,065 grame (bob Troy : 1 gr \u003d 0,06479891 boabe ) , atunci masa totală de grâu pe tabla de șah va fi de 1200 de miliarde de tone sau 1,2 trilioane de tone:

.

Opțiuni

Există o problemă similară în care regele îi cere comandantului să strângă în fiecare zi o monedă de două ori mai mare decât cea anterioară. Yakov Perelman în cartea „Live Mathematics” [2] oferă următoarea versiune a problemei, a cărei intriga, potrivit lui, este împrumutată din „vechiul manuscris latin”: când curajosul comandant s-a întors la Roma de la bătălii, împăratul a întrebat ce plată vrea pentru serviciul său . Comandantul a cerut o sumă foarte mare. Împăratul, pentru a nu fi considerat un avar sau o persoană care nu se ține de cuvânt, i-a sugerat comandantului să meargă a doua zi la vistierie și să ia o monedă de aramă cu o valoare nominală de o brază (cinci grame). o zi mai târziu - două brațe, apoi patru etc. până când poate duce el însuși monedele primite (în fiecare zi se aruncă monede cu greutatea necesară). Comandantul, hotărând că se poate îmbogăți cu ușurință, a fost de acord. Cu toate acestea, în a 18-a zi, el nu a mai putut să ducă moneda și, ca urmare, a primit doar o mică parte din recompensa pe care a cerut-o de la împărat.

Potrivit unei alte versiuni, doi comercianți au încheiat un acord prin care, timp de o lună, primul îi va oferi celui de-al doilea 10.000 de dolari pe zi. Al doilea trebuie să returneze un cent la primul în prima zi , doi cenți în a doua și așa mai departe. Cel de-al doilea negustor a fost de acord și în primele trei săptămâni a fost mulțumit de venit, dar la sfârșitul lunii a fost complet ruinat, dându-și toată averea primului. Perelman oferă o versiune conform căreia prima persoană dă nu 10.000, ci 100.000 pe zi (în unități monetare rusești), dar rezultatul nu se schimbă semnificativ.

Într-o altă versiune, o persoană cumpără un cal, dar este nemulțumit de prețul de 1000 de ruble. Vânzătorul îi oferă să plătească nu pentru un cal, ci pentru cuie de potcoavă, jumătate pentru primul, doi pentru al doilea, un ban pentru al treilea și așa mai departe. Deoarece există 6 cuie în fiecare potcoavă, cumpărătorul este obligat să plătească mai mult de 40 de mii de ruble.

A doua jumătate a tablei de șah

În tehnologia strategiei, „a doua parte a tablei de șah” este o expresie creată de Ray Kurzweil cu referire la punctul în care creșterea exponențială a unui factor începe să aibă un impact economic semnificativ asupra strategiei economice generale a întreprinderii. În timp ce numărul de boabe de pe prima jumătate a tablei este mare, numărul de pe a doua jumătate este de multe ori mai mare. Numărul de boabe de pe prima jumătate a tablei este 1 + 2 + 4 + ... + 2 147 483 648 , în total 2 32 - 1 = 4 294 967 295 boabe , sau aproximativ 100 de tone de orez cu greutatea de un bob de 25 mg [3] . Aceasta este aproximativ 1/1200000 din cantitatea totală de orez cultivată în India pe an (date pentru 2005) [4] .

Cantitatea de cereale de pe a doua jumătate a tablei este de 2 32 + 2 33 + 2 34 ... + 2 63 \u003d 2 64 - 2 32 de boabe de orez . Numai pe pătratul 64 al tablei vor fi 263 = 9223372036854776808 boabe , de peste 2 miliarde de ori mai mult decât pe întreaga primă jumătate a tablei. Pe toata placa vor fi 2 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 boabe , masa lor totala va fi de 461 168 601 842,7  tone .

Note

  1. ↑ Consiliul Internațional pentru Cereale (IGC). Prezentare generală a pieței cerealelor . Consultat la 17 februarie 2011. Arhivat din original pe 24 noiembrie 2010.
  2. ↑ Perelman, 1967 .
  3. ↑ Rice CRC … Mărime și Greutate
  4. ↑ Rice Policy - IRRI World Rice Statistics (WRS) Arhivat 16 septembrie 2008 la Wayback Machine

Literatură

Link -uri