Problema curburii scalare prescrise

Problema de curbură scalară prescrisă este de a construi o metrică Riemanniană cu o curbură scalară dată . Această problemă este rezolvată practic în lucrarea de Kazhdan și Warner. [unu]

Formulare

Având în vedere o varietate închisă , netedă și o funcție reală netedă, construiți o metrică riemanniană pe , pentru care curbura scalară este . $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $M$ $f$

Hotărâri

Dacă dimensiunea varietății este trei sau mai mult, atunci orice funcție netedă care ia o valoare negativă este curbura scalară a unei metrici Riemanniane. $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$

Presupunerea că trebuie să fie negativă în anumite puncte este necesară deoarece nu toate varietățile admit o metrică cu curbură scalară strict pozitivă. De exemplu, acesta este un tor tridimensional . Cu toate acestea, următoarele sunt adevărate. $f$

Dacă admite o metrică cu curbură scalară strict pozitivă, atunci orice funcție netedă este curbura scalară a unei metrici Riemanniene pe . $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $M$

Vezi și

Problema Yamabe

Note

^ Kazdan , J. și Warner F. Curbură scalară și deformare conformă a structurii Riemannian. Jurnalul de Geometrie Diferenţială. 10 (1975). 113-134.