Distribuitor neted

Un colector neted este un colector dotat cu o structură netedă . Varietățile netede sunt o bază naturală pentru construirea geometriei diferențiale . Pe varietăți diferențiale se introduc structuri infinitezimale suplimentare - spațiu tangent , orientare, metrică, conexiune etc., și se studiază acele proprietăți asociate acestor obiecte care sunt invariante în grupul de difereomorfisme care păstrează structura suplimentară.

Definiție

Fie un spațiu topologic Hausdorff . Dacă pentru fiecare punct există vecinătatea lui , homeomorfă cu o submulțime deschisă a spațiului , atunci se numește spațiu local euclidian , sau o varietate topologică de dimensiune . $X$ $x\în X$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $n$

Perechea , unde este homeomorfismul indicat, se numește diagramă locală în punctul . Astfel, fiecărui punct îi corespunde un set de numere reale , care se numesc coordonate în hartă . Un set de hărți se numește atlas de varietate dacă: $(U,\phi )$ $\phi$ $X$ $X$ $n$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $(U,\phi )$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ $X$

totalitatea tuturor acoperirilor , adică $U_{\alpha }$ $X$ $X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
pentru orice astfel de , cartografiere: $\alpha ,\beta \in A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })

este o mapare lină a clasei ;

C^k

\phi _{\alpha }^{\beta }

este o mapare cu un jacobian diferit de zero și se numește o mapare de lipire a unei hărți pe o hartă

(U_{\alpha },\phi _{\alpha })

(U_{\beta},\phi _{\beta}).

Se spune că două -atlase sunt echivalente dacă unirea lor formează din nou un -atlas. Setul de -atlase este împărțit în clase de echivalență, numite - structuri , pentru - structuri diferențiale (sau netede). $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

O varietate topologică înzestrată cu o -structură se numește o varietate netedă . $X$ $C^k$ $C^k$

Note

Dacă, în plus, hărțile de lipire sunt analitice , atunci această definiție dă o structură analitică, uneori notată cu -structură. $C^{a}$

Varietăți complexe

Probleme de geometrie analitică și algebrică duc la necesitatea de a lua în considerare în definirea unei structuri diferențiale în locul unui spațiu de spații mai generale sau chiar , unde este un câmp normat complet nediscret. Deci, în cazul în care considerăm structuri holomorfe ( complex analitic ) ( ) și varietățile netede corespunzătoare — varietăți complexe . Mai mult, orice astfel de varietate are, de asemenea, o structură analitică reală naturală. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $K^n$ $K$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Structuri compatibile

Pe orice varietate analitică există o structură compatibilă cu aceasta, iar pe o varietate, , -structură dacă . Dimpotrivă, orice paracompact -varietate, , poate fi dotată cu o structură analitică compatibilă cu cea dată, iar această structură (până la izomorfism ) este unică. Se poate, totuși, să se întâmple ca -varietatea să nu poată fi înzestrată cu o -structură, iar dacă aceasta reușește, atunci o astfel de structură poate să nu fie unică. De exemplu, numărul de structuri -non -izomorfe pe o sferă -dimensională este: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $C^{0}$ $C^1$ $\theta (n)$ $C^1$ $C^\infty$ $n$

$n$	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12
$\theta (n)$	unu	unu	unu		unu	unu	28	2	opt	6	992	unu

Afișează

Fie o mapare continuă a -varietăților ; se numește -morfism (sau -mapping , , sau mapare a clasei ) de varietăți netede dacă pentru orice pereche de diagrame pe X și pe Y , cum ar fi maparea: $f:X\la Y$ $C^{r}$ $X Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ $(V_{\beta},\psi _{\beta})$ $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta}$

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1)):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta } (V_{\beta})

aparține clasei . O mapare bijectivă , dacă sunt hărți, se numește izomorfism (sau difeomorfism ) . În acest caz, și și structurile lor se spune că sunt -izomorfe. $C^k$ $f$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $X$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Subseturi și înglobări

O submulțime a unei -variete -dimensionale se numește - o subvarietate de dimensiune în dacă pentru un punct arbitrar există o hartă de -structură astfel încât și induce un homeomorfism cu un subspațiu (închis) ; cu alte cuvinte, există o hartă cu coordonate , astfel încât este determinată de relațiile . $Y$ $n$ $C^k$ $X$ $C^k$ $m$ $X$ $y\în Y$ $(U,\phi )$ $C^k$ $X$ $y\în U$ $\phi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $U\cap Y$ $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$

O mapare se numește - o încorporare dacă este o -subvarietate în și este -difeomorfism. $f:X\la Y$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\la f(X)$ $C^k$

Orice varietate- dimensională admite o încorporare în , precum și în . Mai mult decât atât, mulțimea acestor înglobări este peste tot densă în spațiul de mapare în raport cu topologia compact-deschisă . Astfel, luarea în considerare a varietăților netede ca subvariete ale spațiului euclidian oferă una dintre modalitățile de a studia teoria acestora, în acest fel, de exemplu, se stabilesc teoremele asupra structurilor analitice menționate mai sus. $n$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

Literatură

Bourbaki N. Varietăţi diferenţiabile şi analitice. Rezumatul rezultatelor / per. din franceza G. I. Olshansky. — M .: Mir, 1975. — 220 p.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometrie modernă: Metode și aplicații. - Ed. a II-a, revizuită. - M .: Nauka, Ch. ed. Fiz.-Matematică. aprins. , 1986. - 760 p.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentele geometriei diferenţiale. - M. : Nauka, 1981. - T. 1. - 344 p.
de Ram J. Varietăți diferențiabile / transl. din franceza D. A. Vasilkova. - M. : IL, 1956. - 250 p.
Leng S. Introducere în teoria varietăților diferențiabile / per. din engleza. I. M. Dektyareva. — M .: Mir, 1967. — 203 p.
Narasimhan R. Analiză asupra varietăților reale și complexe / per. din engleza. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971. — 232 p.
Pontryagin LS Varietăți Smooth și aplicațiile lor în teoria homotopiei. - Ed. a II-a. — M .: Nauka, 1976. — 176 p.
Postnikov M. M. Introducere în teoria Morse. — M .: Nauka, 1971. — 568 p.
Rokhlin V. A. , Fuchs D. B. Curs inițial de topologie. Capete geometrice. — M .: Nauka, 1977. — 487 p.
Whitney X. Teoria integrării geometrice / per. din engleza. I. A. Vainshtein. - M. : IL, 1960. - 355 p.
Wells R. Calcul diferenţial pe varietăţi complexe / per. din engleza. ed. B. S. Mityagin. - M . : Mir, 1976. - 284 p.