Legile lui De Morgan

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 aprilie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Legile lui Morgen ( regulile lui Morgen ) sunt reguli logice care conectează perechi de operații logice folosind negația logică . Numit după matematicianul scoțian Augustus de Morgan . Pe scurt, ele sună așa:

Negația unei conjuncții este disjuncția negațiilor. Negația unei disjuncții este o conjuncție de negații.

Definiție

Augustus de Morgan a observat inițial că următoarele relații sunt valabile în logica propozițională clasică:

nu (a și b) = (nu a) sau (nu b) nu (a sau b) = (nu a) și (nu b)

În mod simbolic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează:

{\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\wedge \neg {b}\end{matrix}}

000sau in alt mod:000

{\begin{matrix}\overline {(a\wedge b)}=\overline {a}\vee \overline {b}\\\overline {(a\vee b)}=\overline {a}\wedge \overline {b}\end{matrix}}

In teoria multimilor :

{\begin{matrix}\overline {A\cap B}=\overline {A}\cup \overline {B}\\\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B}\end{matrix}}

000sau in alt mod:000

{\begin{matrix}(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C},\\(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.\end{matrix}}

Aceste reguli sunt valabile și pentru mai multe elemente (familii):

\overline {\bigcap _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcup _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

00000și .00000

\overline {\bigcup _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcap _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

În calculul predicatului :

\neg \forall x\,P(x)\equiv \exists x\,\neg P(x),

\neg \exists x\,P(x)\equiv \forall x\,\neg P(x).

Consecințe:

Folosind legile lui De Morgan, se poate exprima o conjuncție în termeni de disjuncție și trei negații. Disjuncția poate fi exprimată în mod similar:

a\wedge b=\neg (\neg {a}\vee \neg {b})

a\vee b=\neg (\neg {a}\wedge \neg {b})

Sub forma unei teoreme :

Dacă există o judecată exprimată prin operația de înmulțire logică a două sau mai multe elemente, adică operația „și” :, atunci pentru a găsi inversul întregii judecăți, este necesar să se afle inversul fiecărui element. și combinați-le cu operația de adunare logică , adică operația „sau » : . Legea funcționează în mod similar în sens invers: . ${(A\wedge B)}$ ${\neg (A\wedge B)}$ $(\neg {A}\vee \neg {B})$ $\neg (A\vee B)=(\neg {A}\wedge \neg {B})$

Aplicație

Legile lui De Morgan se aplică în domenii importante, cum ar fi matematica discretă , inginerie electrică , fizică și informatică ; de exemplu, sunt folosite pentru optimizarea circuitelor digitale prin înlocuirea unor elemente logice cu altele.

Istorie

Opusul contradictoriu al unei judecăți disjunctive este o judecată conjunctivă compusă din contrarii contradictorii ale părților unei judecăți disjunctive.

Text original (engleză)[показатьскрыть] Opusul contradictoriu al unei propoziții disjunctive este o propoziție conjunctivă compusă din contradictorii părților propoziției disjunctive. — William of Ockham , Summa Logicae

Vezi și

Formula de includere-excludere

Link -uri

Weisstein, Legile lui Eric W. De Morgan la Wolfram MathWorld .

Legile logicii

Legile

Principal	Legea identității Legea contradicției Legea mijlocului exclus Legea dublei negații Legea lui Pierce Legea Rațiunii Suficiente
legile lui De Morgan Legile raționamentului deductiv Legea lui Clavius

Principii și proprietăți ale legilor

Principiul exploziei
Monotonitatea implicării
Idempotenta de atractie
Comutativitatea conjuncției
Principiul diviziunii