Legea mijlocului exclus

Legea mijlocului exclus ( lat. tertium non datur , adică „al treilea nu este dat”) este o lege a logicii clasice , care se formulează astfel: două judecăți contradictorii nu pot fi simultan false, una dintre ele trebuie să fie adevărat: a este fie b , fie nu b . Fie afirmația unui fapt este adevărată, fie negația lui. Nu există a treia. [unu]

Spre deosebire de legea contradicției , care operează în raport cu toate judecățile incompatibile între ele, legea mijlocului exclus acționează numai în raport cu judecățile contradictorii (contradictorii).

Din punct de vedere „ intuiționist ” (și, în special, „ constructivist ”), stabilirea adevărului unei afirmații de forma „ A sau nu A ” înseamnă:

sau stabilirea adevărului ; $A$
sau stabilirea adevărului negaţiei sale . $\neg A$

Deoarece, în general, nu există o metodă generală care să permită oricărei afirmații într-un număr finit de pași să-și stabilească adevărul sau adevărul negației sale, legea mijlocului exclus nu ar trebui aplicată în cadrul intuiției și constructive. direcţii în matematică ca axiomă .

Formulare

În logica matematică , legea mijlocului exclus este exprimată identic prin formula adevărată [2] :

$A\vee\neg A,$

Unde:

" " - semn de disjuncţie ; $\vee$
" " este un semn de negaţie . $\neg$

Altă formulare

Alte legi logice au un sens similar , dintre care multe s-au dezvoltat istoric.

În special, legea dublei negații și legea lui Peirce sunt echivalente cu legea mijlocului exclus în logica intuiționistă . Aceasta înseamnă că extinderea sistemului de axiome ale logicii intuiționiste prin oricare dintre aceste trei legi duce în orice caz la logica clasică . Și totuși, în cazul general, există logici în care toate cele trei legi nu sunt echivalente [3] . $\neg (\neg A)\rightarrow A$ $((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P$

Exemple

„Din două afirmații contradictorii despre relația dintre două concepte, o afirmație – și numai una – trebuie să fie în mod necesar adevărată, astfel încât nici o a treia afirmație adevărată nu este posibilă... Întrucât, potrivit legii contradicției, două enunțuri care se contrazic unul pe altul nu pot fi fie amândouă deodată adevărate, atunci adevărul uneia dintre aceste afirmații înseamnă falsitatea celeilalte, și invers... Legea mijlocului exclus mai spune că adevărul se află numai în limitele acestor două afirmații.ar fi. adevărat. În cazul judecăţilor contradictorii, trebuie să se raţioneze după schema: "ori - sau. A treia nu este dată" (tertium non datur)." [4] „...Legea... nu are forță în raport cu opoziția opusă. Aici rămâne posibil ca adevărul să nu se afle în niciuna dintre cele două afirmații opuse, ci să se afle într-o a treia afirmație.” [5] Să presupunem că P este afirmația Socrate este muritor . Atunci legea mijlocului exclus pentru P va lua forma: „Socrate este muritor sau Socrate este nemuritor” , din care este clar că legea întrerupe toate celelalte opțiuni în care Socrate nu este nici muritor, nici nemuritor. Acesta din urmă este chiar „al treilea” care este exclus.

Un exemplu mult mai subtil de aplicare a legii mijlocului exclus, care demonstrează bine de ce nu este acceptabilă din punctul de vedere al intuiționismului, este următorul. Să presupunem că vrem să demonstrăm teorema că există numere iraționale și astfel de numere care sunt raționale . $A$ $b$ $a^{b}$

Cunoscut a fi un număr irațional ( dovadă ). Luați în considerare un număr: ${\sqrt {2}}$

${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ .

Este evident (excluzând a treia opțiune) că acest număr este fie rațional, fie irațional. Dacă numărul dat este rațional, atunci teorema este demonstrată. Numerele necesare:

$a={\sqrt {2}}$ și $b={\sqrt {2}}$

Dar dacă numărul este irațional, atunci fie și . Prin urmare, ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $b={\sqrt {2}}$

a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}}}\right)^{{{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2} }^{{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)))={\sqrt {2}}^{2}=2,

adică un număr raţional . $a^{b}$

Conform legii terțului exclus, nu pot exista alte opțiuni. Prin urmare, teorema este demonstrată în cazul general. Mai mult decât atât, dovada este extrem de simplă și elementară. Pe de altă parte, dacă acceptăm punctul de vedere intuiționist și renunțăm la legea mijlocului exclus, deși teorema poate fi demonstrată, demonstrarea ei devine extrem de dificilă.

Note

↑ Kirillov V.I., Starchenko A.A. Logic: manual, Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse.
↑ Edelman, 1975 , p. 21.
↑ Zena M. Ariola și Hugo Herbelin. Operatori de control și logică clasică minimă. În al treizecilea colocviu internațional despre automate, limbaje și programare, ICALP'03, Eindhoven, Țările de Jos, 30 iunie - 4 iulie 2003, volumul 2719 din Note de curs în informatică, paginile 871-885. Springer-Verlag, 2003. [1] Arhivat 18 iulie 2008 la Wayback Machine
↑ Asmus V.F. Logice. Ch. 2, punctul 19
↑ Ibid., p. 21

Literatură

Edelman S.L. Logica matematică. - M . : Şcoala superioară, 1975. - 176 p.

Vezi și

Legile logicii

Legile

Principal	Legea identității Legea contradicției Legea mijlocului exclus Legea dublei negații Legea lui Pierce Legea Rațiunii Suficiente
legile lui De Morgan Legile raționamentului deductiv Legea lui Clavius

Principii și proprietăți ale legilor

Principiul exploziei
Monotonitatea implicării
Idempotenta de atractie
Comutativitatea conjuncției
Principiul diviziunii