Involuție (matematică)

Involuție (din lat. involutio - pliere, curl) - o transformare care este inversul ei înșiși. De multe ori se presupune în plus că o involuție este o mapare non-identității .

Definiție

O funcție se numește involuție dacă pentru orice . $f\coloan X\la X$ $f(f(x)) = x$ $x\în X$

Proprietăți

Orice involuție este o bijecție .

Alcătuirea a două involuții este o involuție dacă și numai dacă fac naveta: . ${f}\circ {g)$ $f$ $g$ ${f}\circ {g}=g\circ f$

Exemple

$f(x) = -x$ , definit pe mulţimea numerelor întregi , numere raţionale sau reale ; $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
cele mai simple involuții pe mulțimea numerelor reale : $\mathbb {R}$ ${\dfrac {a}{x}}$ , , , , , ; $ax$ ${\dfrac {x}{x-1)}$ ${\dfrac {x+1}{x-1)}$ ${\dfrac {x-1}{x+1}}$ ${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$
$f(x)=\bar{x}$ este complementul multimii specificate pentru submultimile unei multimi universale ; $U$
$f(x)= \neg x$ - negarea logică a algebrei booleene ;
Printre mișcările planului, există două tipuri de involuții non-triviale: simetriile centrale și oglindă .
- Astfel, involuțiilor corespund dreptelor și punctelor, principalele obiecte ale planimetriei. Axiomatica lui Bachmann se bazează pe această observație .
inversare ;
conjugare complexă ;
Legendre transform
O permutare este o involuție dacă , fiecare involuție este un produs al transpozițiilor disjunctive, de exemplu: $\tau$ $\tau\circ\tau=id$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2 .7)(3.4)(6.8)$ .
- Numărul de involuții în grupul de permutare a ordinii este determinat de formulele: $n$ $a(0)=1,\a(1)=1,\a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\n>1$ (formula recurentă), $a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!))$ ,

(primele valori : 1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152 [1] ).

un)

Note

↑ Secvența OEIS A000085 _