Inversare (geometrie)

Inversarea (din latinescul inversio „inversare”) față de un cerc este o transformare a planului euclidian , transpunând cercuri generalizate (cercuri sau linii drepte) în cercuri generalizate, în care unul dintre cercuri este transpus punctual în sine.

Definiție

Să fie dat un cerc în planul euclidian cu un centru (numit pol de inversare sau centru de inversare , acest punct este perforat) și o rază . Inversarea unui punct în raport cu este un punct situat pe rază astfel încât $\Gamma$ $O$ $R$ $P$ $\Gamma$ $P'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Inversarea transformă regiunea interioară a cercului în cea exterioară și invers.

Adesea, un „punct la infinit” este adăugat în plan și considerat invers și - invers . În acest caz, inversarea este transformarea bijectivă a acestui „plan circular” extins . $\infty$ $O$ $O$ $\infty$

Inversarea unui spațiu euclidian față de o sferă și inversarea în spații euclidiene de dimensiuni mai mari sunt definite în mod similar.

Proprietăți

Inversarea despre un cerc centrat pe O are următoarele proprietăți de bază: $\Gamma$

O inversare este o involuție : dacă punctul P merge în punctul Q , atunci punctul Q merge în punctul P.
Linia care trece prin O intră în sine.
O linie dreaptă care nu trece prin O intră într-un cerc care trece prin O cu punctul O perforat ; și invers, cercul care trece prin O merge într-o linie dreaptă care nu trece prin O .
Un cerc care nu trece prin O intră într-un cerc care nu trece prin O (și imaginea centrului său nu este centrul imaginii).
Inversarea este o mapare conformă de al doilea fel (adică, păstrează unghiurile dintre curbe și inversează orientarea ).

Inversarea față de cercul Apollonius , definit prin , schimbă punctele și . $k={\tfrac {PA}{PB}}$ $A$ $B$
Un cerc sau o linie perpendiculară pe , merge în sine. $\Gamma$

Notă

În teoria cercurilor și inversării, se spune că două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt ortogonale ( perpendiculare ). Cercurile pot fi considerate ortogonale dacă formează un unghi drept între ele. De obicei, unghiul dintre curbe este unghiul dintre tangentele lor desenate la punctul lor de intersecție.
În teoria cercurilor și inversării, o dreaptă este perpendiculară pe un cerc dacă trece prin centrul acestuia din urmă. $\Gamma$

Clădire

Puteți obține imaginea P' a unui punct P inversat în jurul unui cerc dat cu centrul O după cum urmează [1] :

Dacă distanța de la P la O este mai mare decât raza cercului, trageți o tangentă la cercul din P , atunci perpendiculara pe dreapta OP din punctul de contact va intersecta această dreaptă în punctul dorit P' .
Dacă distanța de la P la O este mai mică decât raza cercului, trageți prin P a perpendiculară pe OP și prin punctul său de intersecție cu cercul - o tangentă la acesta, care va intersecta OP în punctul dorit P' .
Dacă distanța de la P la O este egală cu raza cercului, atunci imaginea lui P va coincide cu ea însăși.

Reprezentări de coordonate

Coordonate carteziene

Inversia despre cercul unitar centrat la origine este dată de

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\dreapta)

Dacă un punct al planului este dat de o coordonată complexă , atunci această expresie poate fi reprezentată ca $z=x+iy$

z\mapsto ({\bar {z)})^{-1)

unde este numărul conjugat complex pentru . Această funcție a unei variabile complexe este antiholomorfă , ceea ce implică, în special, că inversarea este conformă. ${\barz}$ $z$

In cazul general, inversarea fata de un cerc cu centru intr-un punct si raza este data de relatia $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\dreapta)

Coordonatele polare

Inversarea în jurul unui cerc de rază centrat la origine este dată de $r$

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

Aplicații

Aplicarea inversiunii rezolvă
- sarcina lui Apollonius ,
- Identitatea lui Ptolemeu .

Mecanismul Lipkin-Posselier se bazează pe proprietățile inversării .

Folosind inversiunea, se demonstrează teorema Mohr-Mascheroni , care afirmă că toate construcțiile care pot fi făcute cu compas și drepte se pot face cu un singur compas (se consideră că o dreaptă este construită dacă două dintre punctele sale sunt cunoscute) [ 2] [3]

Există o dovadă pentru proprietățile cercului Apollonius , bazată pe proprietatea inversării. [patru]

Folosind inversiunea, se dovedește porismul lui Steiner : demonstrația folosește faptul că pentru orice cercuri care nu se intersectează există o inversare care le transformă în cercuri concentrice.

Folosind inversarea, se demonstrează că două cercuri gemene arhimedeene din arbelos sunt egale . [2]

Prin inversare sunt dovedite proprietăţile cercurilor din porismul lui Pappus din Alexandria . [2]

Prin inversare se demonstrează Teorema Fluturelui . [2]

Variații și generalizări

Inversarea față de o secțiune conică

Este posibil să se definească o inversare față de o secțiune conică arbitrară nedegenerată , singura diferență fiind că mărimea va fi distanța (variabilă) de la centrul curbei corespunzătoare (în cazul unei elipse și hiperbole ) la punctele de intersecție ale acelei curbe cu o linie . $R$ $O$ $OP$

În cazul inversării față de o hiperbolă, în funcție de sectorul în care se află punctul dintre asimptote , cazul este posibil când linia nu intersectează hiperbola. Apoi, pentru calcul, se ia punctul de intersecție al acestei linii cu hiperbola conjugată (cu excepția cazului în care punctul se află pe asimptotă), iar valoarea corespunzătoare este luată cu semnul minus, adică raza este îndreptată în direcția opus razei . $P$ $OP$ $R$ $P$ $R^2$ $OP'$ $OP$

O inversare în jurul unei parabole este pur și simplu o reflexie simetrică asupra acesteia de-a lungul unei linii drepte paralele cu axa parabolei.

O definiție alternativă este inversarea față de secțiunea conică ca punct de mijloc al coardei tăiat de punctul polar în raport cu . Cu toate acestea, în cazul în care polarul corespunzător nu se intersectează , pentru a completa definiția, este necesar să se aplice această definiție parțială în direcția opusă (adică acesta este un astfel de punct care este mijlocul coardei tăiat de către polar on ), ceea ce nu este întotdeauna convenabil. ${\mathcal {K}}$ $P$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $P'$ $P$ $P'$ ${\mathcal {K}}$

Vezi și

Geometrie inversă
Inversarea curbei

Note

↑ Pogorelov A.V. Geometrie . - M . : Nauka , 1983. - S. 41 -42. — 288 p.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 „Geometrii” de A. Yu. Davidov .

Link -uri

Anufrienko S. A. Simetrie față de un cerc .
Bakelman I. Ya. Inversiunea . Prelegeri populare de matematică , vol. 44, M., Nauka, 1966.
Zhizhilkin I. D. Inversion .. - M .: MTsNMO, 2009.
Courant R., Robbins G. Ce este matematica? . - M . : MTsMO, 2000. - S. Ch. III, § 4 .. - ISBN 5-900916-45-6.