Clasa de conjugare

O clasă de conjugație este un set de elemente ale grupului format din elemente conjugate la un anumit , adică toate elementele formei , unde este un element arbitrar al grupului . $G$ $g\în G$ $hgh^{{-1}}$ $h$ $G$

Clasa de conjugare a unui element poate fi notată cu , sau . $g\în G$ $[g]$ $g^{G}$ ${\mathrm {Cl}}(g)$

Definiție

Elementele și grupurile se numesc conjugate dacă există un element pentru care . Conjugația este o relație de echivalență și, prin urmare, se împarte în clase de echivalență , aceasta, în special, înseamnă că fiecare element al grupului aparține exact unei clase de conjugație, iar clasele și coincid dacă și numai dacă și sunt conjugate și nu se intersectează altfel. . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h\în G$ $hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}$ $G$ $[g_{1}]$ $[g_{2}]$ $g_{1}$ $g_{2}$

Note

Clasele de conjugație pot fi definite și ca orbitele acțiunii unui grup asupra lui însuși prin conjugări date prin formula [1] . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Exemple

Grupul simetric format din toate cele șase permutări a trei elemente are trei clase de conjugație: $S_{3}$
- ordinea nu se modifică ( , „1A”), $abc\la abc$
- permutarea a două elemente ( , , , "3A"), $abc\to acb$ $abc\to bac$ $abc\to cba$
- permutarea ciclică a tuturor celor trei elemente ( , , "2A"). $abc\to bca$ $abc\to cab$

Grupul simetric , format din toate cele 24 de permutări a patru elemente, are cinci clase de conjugație: $S_4$
- ordinea nu se modifică (1 permutare): , "1A" sau "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- permutarea a două elemente (6 permutări): , "6A" sau "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- permutarea ciclică a trei elemente (8 permutări): , "8A" sau "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- permutarea ciclică a tuturor celor patru elemente (6 permutări): , "6B" sau "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- permutare în perechi (3 permutări): , "3A" sau "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

În cazul general, numărul de clase de conjugație dintr-un grup simetric este egal cu numărul de partiții ale numărului , deoarece fiecare clasă de conjugație corespunde exact unei partiții a permutării în cicluri . $S_{n}$ $n$ $\{1,2,\puncte ,n\}$

Proprietăți

Elementul neutru formează întotdeauna propria sa clasă $[e]=\{e\}$
Dacă este abelian , atunci , deci pentru toate elementele grupului. $G$ $\forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h$ $[g]=\{g\}$
Dacă două elemente și grupuri aparțin aceleiași clase de conjugație, atunci ele au aceeași ordine . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$
- Mai general, orice afirmație teoretică de grup despre un element este echivalentă cu o afirmație despre un element , deoarece conjugarea este un
automorfism al grupului . $\porc)$ $g\în G$ $h\in[g]$ $x\la xgx^{{-1}}$ $G$

Un element se află în centru dacă și numai dacă clasa sa de conjugare constă dintr-un singur element: .

g\în G

Z(G)

[g]=\{g\}

Mai general: indicele unui subgrup (

centralizatorul unui element dat ) este egal cu numărul de elemente din clasa de conjugație (conform teoremei de stabilizare a orbitei ).

Z_{G}(g)

g

[g]

Dacă și sunt conjugate, atunci puterile lor și sunt, de asemenea, conjugate .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

Pentru orice element al grupului, elementele din clasa de conjugare unu-la-unu corespund claselor de conjugație ale centralizatorului , într-adevăr, dacă , atunci pentru unii , ceea ce duce la același element conjugat: . În special: $g\în G$ $[g]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\în [h_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\în Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Dacă este un
grup finit , atunci numărul de elemente din clasa de conjugație este indicele centralizatorului . $G$ $[g]$ $[G:Z_{G}(g)]$
Ordinea fiecărei clase de conjugație este un divizor al ordinii grupului.

Ordinea grupului este suma indicilor centralizatorilor pentru reprezentantul ales din fiecare clasă de conjugație: . Ținând cont de faptul că centralizatorul unui grup formează o clasă de conjugație dintr-un singur element (însuși), această relație, numită ecuația claselor de conjugație [2] , se scrie astfel:

g_i

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

unde suma este preluată pe toți reprezentanții fiecărei clase de conjugație care nu aparțin centrului.

De exemplu, să fie dat un grup finit (adică un grup cu ordinea , unde este un număr prim și ). Deoarece ordinea oricărei clase de conjugație trebuie să împartă ordinea grupului, fiecare clasă de conjugație are, de asemenea, o ordine egală cu o anumită putere ( ), iar din ecuația claselor de conjugație rezultă că: $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $n>0$ $Bună$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, aceasta, la rândul său, implică faptul că numărul trebuie să împartă , astfel încât pentru toate grupurile finite , adică ecuația claselor de conjugație ne permite să stabilim că orice grup finit are un centru non-trivial.

p

|Z(G)|

|Z(G)|>1

p

p

Clasele de conjugație din grupul fundamental al unui spațiu topologic conectat pe cale pot fi considerate ca clase de echivalență de bucle libere sub homotopie liberă.

Variații și generalizări

Pentru o submulțime arbitrară (nu neapărat un subgrup), submulțimea se numește conjugat la dacă există un element astfel încât . În acest caz, clasa de conjugație este mulțimea tuturor submulților astfel încât fiecare să fie conjugat . $S\subseteq G$ $T\subseteq G$ $S$ $g\în G$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subseteq G$ $T$ $S$

O teoremă utilizată pe scară largă este aceea că pentru orice submulțime dată a unui grup, indicele de set al normalizatorului său este egal cu ordinea clasei sale de conjugație : $S$ $G$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

Acest lucru rezultă din faptul că pentru deține: dacă și numai dacă , adică și este conținut în aceeași clasă de adiacență a normalizatorului . $g,h\în G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\în N(S)$ $g$ $h$ $N(S)$

Subgrupurile pot fi împărțite în clase de conjugație, astfel încât două subgrupuri să aparțină aceleiași clase dacă și numai dacă sunt conjugate. Subgrupurile conjugate sunt izomorfe , dar subgrupurile izomorfe nu trebuie să fie conjugate. De exemplu, un grup abelian poate conține două subgrupuri izomorfe distincte, dar ele nu vor fi niciodată conjugate.

Vezi și

Note

↑ Grillet, 2007 , p. 56.
↑ Grillet, 2007 , p. 57.

Literatură

Pierre Antoine Grillet. algebră abstractă. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Texte de absolvire de matematică). — ISBN 978-0-387-71567-4 .