Spațiu conectat la cale

Un spațiu conectat liniar este un spațiu topologic în care oricare două puncte pot fi conectate printr-o curbă continuă.

Definiții

Se consideră un segment al liniei reale cu topologia standard a liniei reale definită pe el . Să fie dat și un spațiu topologic . Atunci acesta din urmă se numește conexiuni de cale [1] dacă pentru oricare două puncte există o mapare continuă astfel încât $[0,1]\subset \mathbb {R}$ $(X,{\mathcal {T}}).$ $x,y\în X$ $f:[0,1]\la X$ $f(0)=x,\;f(1)=y.$
Fie dat un subset . Apoi topologia indusă pe ea este definită în mod natural . Dacă spațiul este conectat la cale, atunci submulțimea se mai numește și conectat la cale în [2] . $M\subset X$ ${\mathcal {T}}_{M}$ $\mathcal{T}$ $\left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)$ $M$ $X$

Definiții înrudite

Fiecare subset al unui spațiu conectat la cale este conținut într-un subset maxim conectat la cale. Astfel de submulțimi conexe maxime sunt numite componente liniar conectate ale spațiului [2] . $X$ $X$
- Un spațiu în care fiecare componentă conectată la cale constă dintr-un singur punct se numește complet deconectat de cale (prin analogie cu spațiul complet deconectat ).
Dacă există o bază a topologiei spațiale constând din mulțimi deschise conectate la cale , atunci topologia spațiului și spațiul însuși (în această topologie) se numesc local conectate la cale [3] . $X$ $X$ $X$

Exemple

O linie, un cerc, o submulțime convexă a spațiului euclidian sunt exemple de spații conectate cu căi [4] .
Închiderea graficului unei funcții la este un exemplu de spațiu conectat care nu este conectat la cale. Acest spațiu are două componente ale conectivității liniare: graficul funcției pentru x > 0 și segmentul de pe axa y [5] . $\sin\tfrac1x$ $x\ge 0$ $[-1,1]$
Un pseudoarc este un exemplu de spațiu conectat, dar complet deconectat liniar.

Proprietăți

Fiecare spațiu conectat la cale este conectat . Reversul nu este adevărat [1] .
Un spațiu topologic finit este legat de cale dacă și numai dacă este conectat.
O imagine continuă a unui spațiu conectat la cale este conectată la cale [5] .
Dacă spațiul este conectat la cale și , atunci grupările de homotopie și sunt izomorfe , iar acest izomorfism este definit în mod unic până la un automorfism interior [6] . $X$ $x,\;y\în X$ $\pi _{1}(X,\;x)$ $\pi _{1}(X,\;y)$ $\pi _{1}(X,\;x)$

Conectivitate liniară pe linia reală

Presupunem că , și este topologia standard a liniei reale. Apoi [5] $X=\mathbb {R}$ $\mathcal{T}$

Un subset este conectat la cale dacă și numai dacă $M\subset \mathbb {R}$ $\forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},$

adică orice două puncte intră în el împreună cu segmentul care le leagă.

Orice subset al liniei reale conectat la cale este un interval finit sau infinit deschis, semideschis sau închis: $(a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\; b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).$
Un subset al liniei numerice este legat de cale dacă și numai dacă este conectat.

Generalizare

O generalizare multidimensională a unei conexiuni liniare este -connection (conexiune în dimensiune ). Se spune că un spațiu este conectat ca dimensiune dacă oricare două hărți ale sferei -dimensionale în , unde , sunt homotopice . În special, -conectivitate este la fel ca conectivitatea liniară, iar -conectivitatea este la fel ca conexiunea simplă [7] . $k$ $k$ $X$ $k$ $r$ $S^{r)$ $X$ $r\leqslant k$ $0$ $unu$

Note

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 24.
↑ 1 2 Viro și colab., 2012 , p. 86.
↑ Viro și colab., 2012 , p. 229.
↑ Viro și colab., 2012 , p. 85-86.
↑ 1 2 3 Viro și colab., 2012 , p. 87.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 51.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 49.

Literatură

Fomenko, A. T. , Fuchs, D. B. Un curs de topologie homotopică. —M.:Nauka, 1989. — 528 p. —ISBN 5-02-013929-7. (Rusă)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Topologie elementară. - Ed. a II-a, corectat .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Rusă)