Grup p finit

Un grup este numit un grup finit $p$ dacă are ordine egală cu o anumită putere a unui număr prim .

Proprietățile de bază ale grupurilor p finite

Atunci să fie un grup finit $P$ $p$

P este nilpotent .
$|Z(P)|>1$ , unde este centrul grupului P . $Z(P)$
Pentru orice din există un subgrup normal de ordine . $1\leq k<n$ $P$ $p^{k}$
Dacă este normal în , atunci . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d)}$ .

Unele clase de p-grupuri finite

Această secțiune descrie definițiile și proprietățile unor clase de grupuri finite care sunt adesea luate în considerare în literatura științifică. $p$

p-grupuri ale clasei maxime

Un grup finit de ordin se numește un grup de clasă maximă dacă clasa sa de nilpotență este egală cu . $p$ $p^{n}$ $n-1$

Dacă este un grup finit de clasă maximă, atunci și . $P$ $p$ $P'=\Phi (P)$ $|Z(P)|=p$

Singurele 2 grupuri de ordinul clasei maxime sunt: grupul diedric, grupul cuaternion generalizat și grupul semiedric . $2^{n}$ $D_{2^{n)}$ $Q_{2^{n)}$ $SD_{2^{n)}$

Spre deosebire de 2-grupuri, cazul p-grupurilor de clasă maximă pentru p>2 este mult mai complicat.

p-grupuri p-centrale

Un -grup finit se numește -central dacă . Conceptul este dual, într-un anumit sens, cu conceptul de grup puternic . $p$ $p$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $p$

Grupuri p puternice

Un grup finit este numit puternic dacă pentru și pentru . Conceptul este dual, într-un anumit sens, cu conceptul de -central -grup. $p$ $[P,P]\leq P^{p)$ $p\neq 2$ $[P,P]\leq P^{4}$ $p=2$ $p$ $p$

P-grupuri obișnuite

Un grup finit se numește regulat dacă , unde , este valabil pentru orice . De exemplu, toate grupurile abeliene vor fi regulate. Un grup care nu este regulat se numește neregulat . $p$ $P$ $x,y\in P$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}$ $c\in P'$ $p$

Orice subgrup și grup de factori ai unui -grup obișnuit este regulat . $p$
Un -grup finit este regulat dacă oricare dintre subgrupurile sale generate de două elemente este regulat. $p$
Un grup finit de ordin este cel mult obișnuit. $p$ $p^{p)$
Un grup finit a cărui clasă de nilpotență este mai mică decât obișnuită. De asemenea, toate grupurile de nilpotenta clasa 2 sunt regulate pentru . $p$ $p$ $p>2$
Orice grup finit non-abelian 2 este neregulat.

Grupuri p finite de comenzi mici

Număr de -grupuri distincte de ordine $p$ $p^{n}$

Numărul de grupuri de ordin neizomorf este 1: grupul . $p$ $C_{p}$
Numărul de grupuri de ordin neizomorf este 2: grupuri și . $p^{2}$ $C_{p^{2)}$ $C_{p}\times C_{p}$
Numărul grupurilor de ordin neizomorfe este 5, dintre care trei sunt grupuri abeliene: , , iar două sunt non-abeliene: pentru - și ; pentru p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3)}$ $C_{p^{2}}\times C_{p}$ $C_{p}\times C_{p}\times C_{p)$ $p>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $Q_8$
Numărul de grupuri de ordin neizomorfe este 15 pentru , numărul de grupuri de ordin este 14. $p^{4}$ $p>2$ $2^4$
Numărul de grupuri de ordin neizomorf este egal cu pentru . Numărul de grupuri de comandă este 51, numărul de grupuri de comandă este de 67. $p^{5}$ $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ $p\geq 5$ $2^{5}$ $3^{5}$
Numărul de grupuri de ordin neizomorf este egal cu pentru . Numărul de grupuri de comandă este 267, numărul de grupuri de comandă este de 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)$ $p\geq 5$ $2^6$ $3^{6}$
Numărul de grupuri de ordin neizomorf este egal cu pentru . Numărul de grupuri de comandă este 2328, numărul de grupuri de comandă este 9310, numărul de grupuri de comandă este 34297. $p^{7}$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)$ $p>5$ $2^7$ $3^{7}$ $5^{7}$

p-grupuri de ordine , asimptotice $p^{n}$

Pentru , numărul de grupuri de ordin neizomorfe este asimptotic egal cu . $n\rightarrow\infty$ $p^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}$

Probleme celebre în teoria p-grupurilor finite

Grupul de automorfism al unui p-grup finit

Pentru grupurile care sunt automorfisme ale unui grup finit , există limite superioare simple, dar limitele inferioare sunt mult mai complicate. Timp de mai bine de o jumătate de secol, următoarea ipoteză a rămas deschisă: $p$ $p$

Fie un grup neciclic de ordin , atunci . $P$ $p$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Această presupunere este confirmată pentru o clasă mare de -grupuri: grupuri abeliene, pentru toate grupurile de ordine cel mult , grupuri de clasă maximă. Cu toate acestea, o abordare generală a acestei probleme nu a fost încă găsită. $p$ $p^{7}$

Ipoteza lui Higman

J. Thompson a demonstrat o binecunoscută teoremă care afirmă că un grup finit cu un automorfism regulat de ordin prim este nilpotent. $q$

Fie ca un grup să aibă un automorfism regulat de ordin prim . Atunci clasa sa de nilpotenta este . $P$ $q$ $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4))$

Până acum, au fost dovedite doar estimări mult mai slabe: (Kostrikin, Kreknin). $cl(P)<q^{q)$

Conjectura Burnside slăbită

Conjectura lui Burnside a fost că, dacă există un grup cu generatoare și o perioadă (adică toate elementele sale satisfac relația ), atunci este finit. Dacă da, notăm maximul acestor grupuri cu . Atunci toate celelalte grupuri cu aceeași proprietate vor fi grupurile sale de factori. Într-adevăr, este ușor de arătat că grupul este un 2-grup abelian elementar. Van der Waerden a demonstrat că ordinea unui grup este . Totuși, așa cum au arătat Novikov și Adyan, pentru și pentru orice ciudat , grupul este infinit. $m$ $n$ $X$ $x^{n}=1$ $B(m,n)$ $B(m,2)$ $B(m,3)$ $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6))$ $m\geq 2$ $n\geq 4381$ $B(m,n)$

Conjectura Burnside slăbită afirmă că ordinele grupurilor de perioade finite sunt mărginite. Această presupunere a fost dovedită de Efim Zelmanov . Pentru grupuri finite , înseamnă că există doar un număr finit de grupuri ale unui exponent dat și cu un număr dat de generatoare. $m$ $n$ $p$ $p$

Grupuri p neregulate

Clasificarea p-grupurilor neregulate de ordin . $p^{p+1}$

Literatură

Belonogov V. A. Caiet de sarcini despre teoria grupurilor - M .: Nauka , 2000.
Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .
Hall M. Teoria grupurilor. Editura de literatură străină - M. , 1962.
Khukhro E.I. Despre p-grupurile de automorfisme ale p-grupurilor abeliene - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (în pregătire).
Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (în pregătire).
Gorenstein D. Grupuri finite - NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Matematică. Inst. Hautes Etud. Sci. 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: grupuri analitice p-adice, ibid., 506-515.
Weigel T. Proprietăți combinatorii ale grupurilor p-centrale - Freiburg Univ., 1996, preprint.
Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.

Link -uri

Sistemul GAP .