Compoziția funcției

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 martie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Compunerea ( suprapunerea ) funcțiilor este aplicarea unei funcții la rezultatul alteia.

Compoziția funcției și se notează de obicei [1] [2] , ceea ce înseamnă aplicarea unei funcții la rezultatul unei funcții , adică . $F$ $G$ $G\circ F$ $G$ $F$ $(G\circ F)(x)=G(F(x))$

Definiție

Să fie date două funcții și unde este imaginea mulțimii Atunci compoziția lor este funcția definită de egalitatea [3] : $F\colon X\la Y$ ${\textstyle G\colon F[X]\la Z,}$ $F[X]\subseteq Y$ $X.$ $G\circ F\colon X\la Z$

(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.

Definiții înrudite

Termenul „ funcție complexă ” poate fi aplicat compoziției a două funcții, fiecare având un argument [4] . Poate fi folosit și în situația în care mai multe funcții de la una sau mai multe variabile inițiale sunt alimentate la intrarea unei funcții de mai multe variabile simultan [5] . De exemplu, o funcție complexă a mai multor variabile poate fi numită funcție de formă $G$ $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

deoarece este o funcție a cărei intrare sunt rezultatele funcțiilor și .

F

u

v

Proprietăți de compoziție [3]

Compoziția este asociativă : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$
Dacă este maparea identității pe , adică $F={\mathrm {id}}_{X}$ $X$ $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$

apoi

G\circ F=G.

Dacă este maparea identității pe , adică $G={\mathrm {id}}_{Y}$ $Y$ $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$

apoi

G\circ F=F.

Compoziția mapărilor , , este, în general vorbind, nu comutativă , adică, de exemplu, funcții date , apoi, totuși , $F\colon X\la X$ $G\colon X\la X$ $F\circ G\nu =G\circ F.$ $F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$ $G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$ $F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$

Proprietăți suplimentare

Fie ca o funcție să aibă o limită într-un punct și o funcție să aibă o limită într-un punct . Apoi, dacă există o vecinătate perforată a punctului , a cărei intersecție cu mulțimea este mapată de funcție la vecinătatea punctată a punctului , atunci există o limită de compoziție la punctul și următoarea egalitate este valabilă: $f\coloan X\la Y$ $A$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f[X]\subseteq Y\la Z$ $b$ $\lim _{y\to b}g(y)$ $A$ $X$ $f\coloan X\la Y$ $b$ $A$ $g\circ f\colon X\la Z$ $\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$
Dacă funcția are o limită în punct și funcția este continuă în punctul , atunci există o limită a compoziției funcțiilor în punct și este valabilă următoarea egalitate: $f\coloan X\la Y$ $A$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f(X)\subseteq Y\la Z$ $b$ $A$ $g\circ f\colon X\la Z$ $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
Compoziția funcțiilor continue este continuă. Fie spații topologice . Fie și două funcții, , și unde este mulțimea tuturor funcțiilor a căror derivată primă există la un punct dat. Apoi . $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ $f\coloan X\la Y$ $g\colon f[X]\subseteq Y\la Z$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in C(x_{0})$ $g\in C(y_{0}),$ $C$ $g\circ f\in C(x_{0})$

Compoziția funcțiilor diferențiabile este diferențiabilă. Fie , , și . Apoi , și $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})

Note

↑ Denumire . Preluat la 10 mai 2021. Arhivat din original la 24 februarie 2021. (nedefinit)
↑ Compoziția funcțiilor . www.mathsisfun.com . Preluat la 10 mai 2021. Arhivat din original la 31 decembrie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 Kostrikin, 2004 , p. 37-38.
↑ Derivată a unei funcții complexe . www.math24.ru _ Preluat la 10 mai 2021. Arhivat din original la 10 mai 2021. (nedefinit)
↑ funcții ale mai multor variabile . Preluat la 10 mai 2021. Arhivat din original la 10 mai 2021. (nedefinit)

Literatură

Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 1. Fundamentele algebrei. - Ed. a III-a - M . : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0487-X.