Coordonate conice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 25 februarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Coordonatele conice sunt un sistem de coordonate ortogonal tridimensional format din sfere concentrice (raza r ) și două familii de conuri perpendiculare direcționate de-a lungul axelor z și x .

Definiții de bază

Coordonatele conice sunt definite de expresii $(r,\mu ,\nu )$

x={\frac {r\mu \nu {bc)),

y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}- b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}},

z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}- c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}},

în timp ce se impun restricţii asupra coordonatelor

\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.

Suprafețele constantei r sunt sfere cu raza r centrate la origine:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},

suprafețe ale constantelor și sunt conuri reciproc perpendiculare : $\mu$ $\nu$

{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0

și

{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.

Factori de scară

Factorul de scalare pentru raza r este unu ( h r = 1 ), ca în coordonatele sferice. Pentru coordonatele conice, factorii de scară sunt

h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}} {\left(b^{2}-\mu ^{2}\right) \left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}

și

h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.

O altă definiție

Există un alt set de coordonate conice: [1]

${\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end {aliniat}}$

unde sunt coordonatele polare sferice. Conversie inversă: $\{r,\theta,\phi \)$

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }} \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )),\\\theta &=\zeta .\end{aliniat))$

Distanța euclidiană mică între două puncte în coordonate date:

{\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+ \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))^{2}\operatorname {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))\operatorname {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{ \xi }})\operatorname {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}

Dacă calea dintre două puncte este limitată de suprafața unui con dată de , atunci distanța geodezică dintre două puncte și este exprimată ca $\zeta ={\frac {\pi }{4}}$ $\{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4))\)$ $\{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4))\)$ $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2 }.$

Note

↑ Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D.O.; Yu, Changbin. Asocierea cauzală a semnalelor electromagnetice folosind determinantul Cayley-Menger (engleză) // Applied Physics Letters : jurnal. - 2009. - 20 iulie ( vol. 95 , nr. 3 ). — P. 034106 . — ISSN 0003-6951 . - doi : 10.1063/1.3180815 .

Literatură

Morse PM, Feshbach H. Metode de fizică teoretică, partea I (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - P. 659. - ISBN 0-07-043316-X .
Margenau H., Murphy GM The Mathematics of Physics and Chemistry (nespecificat) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 183-184 .
Korn GA, Korn TM Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri (engleză) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - P. 179.
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 991-100.
Arfken G. Metode matematice pentru fizicieni (nedefinit) . — al 2-lea. - Orlando, FL: Academic Press , 1970. - pp. 118-119.
Moon P., Spencer DE Coordonate conice (r, θ, λ) // Manual de teorie a câmpurilor, inclusiv sistemele de coordonate, ecuațiile diferențiale și soluțiile lor (engleză) . corectat ed. a 2-a, tipărire a 3-a. - New York: Springer-Verlag , 1988. - P. 37-40 (Tabelul 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2 .

Link -uri

Descrierea coordonatelor conice în MathWorld

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonate pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric