Configurația Cremona-Richmond

Configurația Cremona-Richmond  este o configurație de 15 linii și 15 puncte, trei puncte situate pe fiecare linie și 3 linii care trec prin fiecare punct, în timp ce configurația nu conține triunghiuri. Configurația a fost studiată de Cremona ( Cremona 1877 ) și Richmond ( Richmond 1900 ). Configurația este un patrulater generalizat cu parametrii (2,2). Graficul Levi al configurației este graficul Tutt-Coxeter . [unu]

Simetrie

Punctele configurației Cremona-Richmond pot fi identificate cu perechi neordonate de elemente ale unui set de șase elemente, în timp ce configurațiile directe pot fi identificate cu 15 moduri de descompunere a acestor șase elemente în trei perechi, în timp ce punctul este incident cu linia. (se află pe linie) dacă și numai dacă atunci când perechea corespunzătoare de elemente este conținută în descompunerea corespunzătoare liniei. În această schemă, perechile de elemente se numesc duade, iar descompunerea în trei perechi se numește mulțimi (sinteme). Astfel, grupul simetric de șase elemente acționează tranzitiv asupra steagurilor unei configurații, unde un steag este o pereche - o linie și un punct pe ea. Acest grup este grupul de automorfism de configurare . [unu]

Configurația Cremona-Richmond este auto-duală -  punctele și liniile pot fi interschimbate, păstrând în același timp toate proprietățile de incidență ale configurației. Această dualitate oferă grafului Tutte-Coxeter simetrii suplimentare care nu aparțin simetriilor configurației Cremona-Richmond, care schimbă ambele părți ale grafului bipartit. Aceste simetrii corespund automorfismelor exterioare ale grupului simetric de șase elemente.

Implementare

Orice șase puncte în poziție generală în spațiul cu patru dimensiuni dau 15 puncte, care sunt determinate de intersecția liniilor care trec prin două puncte cu hiperplane care definesc celelalte patru puncte. Astfel, cei doi corespund unu la unu acestor 15 puncte obtinute. Orice trei 2 care formează împreună o mulțime definesc o dreaptă care este intersecția a trei hiperplane care conțin două dintre cele trei 3 din mulțime, iar această linie conține toate punctele corespunzătoare celor trei 2 ale mulțimii. Astfel, doi și mulțimi de configurație abstractă corespund unu la unu, în sensul apartenenței punctelor la drepte, acestor 15 puncte și 15 drepte obținute din cele șase puncte inițiale. Aceeași construcție poate fi proiectată în spațiul euclidian (tridimensional) sau în planul euclidian. [unu]

Configurația Cremona-Richmond are și o familie de realizări în plan, în funcție de un parametru, care are simetrie ciclică de ordinul cinci. [2]

Istorie

Schläfli ( Schläfli 1858 ) ( Schläfli 1863 ) a găsit suprafețe cubice care conțineau 15 drepte reale (complementare cu cele șase duble ale lui Schläfli în setul de 27 de cuburi drepte) și 15 plane tangente, trei drepte pe fiecare plan și trei plane care trec prin fiecare linie. Intersecția acestor drepte și plane cu un alt plan dă configurația 15 3 15 3 . Acest model de incidențe ale liniilor și planurilor de Schläfli a fost publicat mai târziu de Cremona ( 1868 ). Observația că configurația rezultată nu conține triunghiuri a fost făcută de Martinetti ( Martinetti 1886 ). Aceeași configurație a apărut în lucrarea lui Richmond ( Richmond 1900 ). Visconti ( Visconti 1916 ) a descoperit că o configurație poate fi reprezentată ca un poligon auto-înscris. Baker a folosit o implementare în patru dimensiuni a configurației ca coperta pentru 1922-1925 Principiile geometriei sale în două volume . Zacharias ( Zacharias 1951 ) a redescoperit aceeași configurație și și-a găsit realizarea cu simetria ciclică de ordinul al cincilea. [3]

Numele configurației provine din opera lui Cremona ( Cremona 1868 ) ( Cremona 1877 ) și Richmond ( Richmond 1900 ). Poate din cauza unor erori în opera lui Martinetti, contribuția sa a trecut neobservată. [3]

Note

  1. ↑ 1 2 3 Coxeter, 1950 ; Coxeter, 1958 . Termenii duade și mulțimi (sinteme) sunt preluați din lucrarea lui Sylvester ( Sylvester 1844 ), dar Sylvester a folosit aceste sisteme de perechi și descompunere în contextul unor studii mai generale ale mulțimilor și descompunerilor de mulțimi, fără a acorda prea multă atenție mulțimii celor șase elemente. și nu a conectat aceste mulțimi cu geometria.
  2. ↑ Zaharia, 1951 ; Boben și Pisanski, 2003 ; Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik, 2006 .
  3. ↑ 1 2 Istoria configurației Cremona-Richmond și majoritatea referințelor sunt preluate din Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik, 2006 . Referirea la Baker vine dintr-un articol al lui Coxeter ( Coxeter 1950 ).

Literatură

Link -uri