Dualitate proiectivă

O proprietate importantă a planului proiectiv este „ simetria ” rolurilor jucate de puncte și linii în definiții și teoreme, iar dualitatea este o formalizare a acestui concept. Există două abordări ale conceptului de dualitate: una, folosind limbajul „ principiului dualității ”, vă permite să declarați un set de teoreme duale între ele, în timp ce teorema duală față de adevărata este de asemenea adevărată; și o altă abordare funcțională bazată pe o mapare specială a dualității. Legătura dintre abordări este că teorema duală se obține prin aplicarea mapării dualității fiecărui obiect al celui original. De asemenea, este posibilă o abordare coordonată .

Conceptul de dualitate plană este ușor de extins la dualitate în orice geometrie proiectivă cu dimensiuni finite.

Principiul dualității

Principiul dualității pentru planul proiectiv afirmă că dacă luăm orice afirmație adevărată formulată în termeni de geometrie proiectivă (orice teoremă proiectivă) și înlocuim toate aparițiile fiecărui termen cu dualul său, obținem din nou o afirmație adevărată. În special, pentru afirmațiile despre puncte și linii, este suficient să înlocuiți fiecare apariție a cuvântului „punct” cu „linie” și „linie” cu „punct” (și, de asemenea, înlocuirea cuvintelor din jur într-un mod adecvat, de exemplu, „se întinde pe” cu „aparține”). O afirmație astfel obținută se spune că este duală cu cea originală. De exemplu, pentru axioma proiectivă „Există o singură linie prin fiecare două puncte”, afirmația duală este o altă axiomă proiectivă „Fiecare două linii se intersectează într-un punct”.

Acest principiu oferă un motiv bun pentru utilizarea termenului „simetric” pentru relația de incidență . Deci, în locul propoziției „un punct se află pe o linie”, se poate spune „un punct și o linie sunt incidente”, iar pentru a transforma enunțul într-un dual, este suficient să rearanjați cuvintele punct și linie („linie și punctul sunt incidente”).

Acest concept poate fi generalizat la dualitatea unui spațiu proiectiv tridimensional, unde conceptele de „punct” și „plan” își schimbă rolurile (și liniile drepte rămân drepte). [1] Acest lucru duce la Principiul Dualității pentru spațiu . Sunt posibile și generalizări suplimentare (vezi mai jos).

Dualitatea unor figuri mai complexe

O configurație de puncte și linii cu un simbol este un set de puncte și linii astfel încât exact liniile de configurare trec prin fiecare punct și exact punctele de configurare pe fiecare linie . Obiectul dublu al configurației cu simbolul este configurația cu simbolul . De exemplu, obiectul dublu al unui obiect complet cu patru fețe este un obiect complet cu patru fețe [2] . $(m_{c},n_{d})$ $m$ $n$ $c$ $d$ $(m_{c},n_{d})$ $(n_{d},m_{c})$

Principiul dualității admite o generalizare la curbe arbitrare pe plan proiectiv. Pentru a construi o curbă duală , se construiește o linie duală la fiecare punct al curbei date și apoi se ia în considerare anvelopa lor - o astfel de curbă încât toate liniile obținute să fie tangente la aceasta. În special, pentru curbele de ordinul doi pe planul proiectiv, se dovedește că curba duală este și o curbă de ordinul doi.

Mai general, pentru cvadrici dintr-un spațiu proiectiv, se respectă următoarea afirmație: mulțimea de hiperplanuri tangente la o cvadrică nedegenerată într-un spațiu proiectiv formează o cvadrică nedegenerată în spațiu (asteriscul, ca de obicei, înseamnă spațiu dual ) [ 3] . Dualitatea poate fi extinsă și la varietăți algebrice proiective arbitrare. $P(L)$ $P(L^{*})$

Teoreme duale

Pentru planul proiectiv real , există o serie de afirmații binecunoscute care sunt duale între ele. Printre ei: $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$

Teorema lui Desargues ⇔ Teorema lui Desargues inversă
Teorema lui Pascal ⇔ Teorema lui Brianchon
Teorema lui Menelaus ⇔ Teorema lui Ceva

Poliedre duale

În stereometrie , există o dualitate de poliedre , când punctele sunt duale cu fețele, iar muchiile sunt duale cu muchiile, astfel încât, de exemplu, un icosaedru este dual cu un dodecaedru , iar un cub este dual cu un octaedru . O modalitate de a construi această dualitate este utilizarea dualității proiective.

Formalizare

Dacă se definește planul proiectiv axiomatic ca o structură de incidență în termeni de un set de puncte , un set de linii și o relație de incidență binară care determină punctele care se află pe ce linii, atunci se poate defini o structură plană duală . $P$ $L$ $eu$

Dacă schimbăm rolurile „punctelor” și „liniilor drepte” în structura de incidență

C=(P,L,I),

obținem structura duală

C^{\ast }=(L,P,I^{\ast }),

unde este relația inversă dintre și . este, de asemenea, un plan proiectiv, care se numește plan dual pentru . $I^{\ast }$ $eu$ $C^{\ast }$ $C$

Dacă și sunt izomorfe, atunci se numește auto-dual . Planurile proiective pentru orice câmp (sau, mai general, pentru orice corp izomorf cu sine) sunt auto-duale. În special, planurile desarguesiene de ordin finit sunt întotdeauna auto-duale. Cu toate acestea, printre planurile non-desarguesiene , există atât auto-duale (de exemplu, planurile Hughes ) cât și non-self-duale (de exemplu, planurile Hall). $C$ $C^{\ast }$ $C$ $\operatorname {PG} (2,K)$ $K$

Dualitatea ca mapare

Dualitatea (a unui plan) este o mapare de la un plan proiectiv la dualul său , păstrând proprietatea de incidență. Astfel, dualitatea mapează punctele către linii și liniile către puncte ( și ) în așa fel încât, dacă un punct se află pe o dreaptă (notat cu ), atunci . $C=(P,L,I)$ $C^{\ast }=(L,P,I^{\ast })$ $\sigma$ $P^{\sigma}=L$ $L^{\sigma}=P$ $Q$ $m$ $Qim$ $m^{\sigma}I^{\ast }Q^{\sigma}\Leftrightarrow QIm$

Dualitatea definită în acest fel nu este neapărat o bijecție. Dualitatea planurilor proiective, care este un izomorfism, se numește corelație . [4] [5] Uneori se limitează doar la cazul unui automorfism, adică o mapare din planul proiectiv în sine, atunci existența unei corelații înseamnă auto-dualitatea planului proiectiv.

Relația cu colineația

Puteți privi conceptul de corelare ca un analog al conceptului de colineare. O colineare este o mapare între planuri proiective care mapează puncte la puncte și linii la linii, adică păstrând incidența. [6]

O proprietate importantă a colineațiilor este că ele păstrează relația dublă [7] . Corelațiile satisfac de asemenea această cerință, traducând raportul dublu al punctelor într-un raport dublu al liniilor. Astfel, atunci când se traduce un set de puncte de pe o linie într-un creion de linii printr-un punct, fiecare patrulă armonică de puncte este translată într-un patrund armonic de linii.

Având în vedere compoziția unei corelații arbitrare cu ea însăși, obținem automat o colineare . Dacă se dovedește a fi o mapare a identității, adică dacă corelația în sine este o involuție , atunci se numește polaritate sau corespondență polară . Uneori, acest nume este aplicat doar unui anumit tip de corespondență, vezi #poli și polari . $\varphi$ $\varphi ^{2}$

Mapările cu aceleași proprietăți pot fi introduse și în spații de dimensiuni mai mari, toate argumentele fiind repetate textual.

Clasificarea corelațiilor

Deoarece compoziția a două corelații este o colineare, aceasta permite clasificarea colineațiilor, după care setul tuturor corelațiilor este descris ca o compoziție a unei corelații fixe cu toate colineațiile.

Noţiunea de coliniere este strâns legată de noţiunea de transformare proiectivă . Formal, o transformare proiectivă este o coliniere care provine de la un operator liniar pe . Se pare că în cazul real sau pentru , aceste concepte pur și simplu coincid. Pentru un plan proiectiv de forma , unde este un corp, conform teoremei fundamentale a geometriei proiective , orice coliniere este o compoziție a unui automorfism și a unei transformări proiective . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n>2$ $\operatorname {PG} (2,K)$ $K$ $K$

Aceasta poate fi folosită pentru a arăta că corelația pe este dată de o formă seschilineară arbitrară pe câmpul asociat cu un antiautomorfism arbitrar . În acest caz, fiecare subspațiu este mapat ortogonal față de el în raport cu forma dată. $\operatorname {PG} (2,K)$ $K^{3}$ $K$

Dualitate în coordonate omogene

Dualitatea planului proiectiv este un caz special al dualității pentru spații proiective , transformări (care sunt notate și cu ), unde este un câmp care schimbă obiecte de dimensiune cu obiecte de dimensiune (= codimensiune ). Astfel, într-un spațiu proiectiv, dimensiunile unui punct (dimensiunea 0) vor corespunde hiperplanurilor (codimensiunea 1), liniile care trec prin două puncte (dimensiunea 1) vor corespunde intersecției a două hiperplane (codimensiunea 2), și așa mai departe . $\operatorname {PG} (n,K)$ $K\mathbb {P} ^{n}$ $K$ $r$ $n-1-r$ $r+1$ $n$

Punctele pot fi considerate ca vectori nenuli în spațiul vectorial ( )-dimensional peste , în care identificăm vectori care diferă prin înmulțire cu un scalar. Un vector diferit de zero definește, de asemenea, un subspațiu -dimensional (hiperplan) ortogonal cu acesta : $\operatorname {PG} (n,K)$ $n+1$ $K$ $\mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots,u_{n})$ $K^{n+1}$ $(n-1)$ $H_{u)$

H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n} =0\}.

Vectorul folosit pentru a defini hiperplanul va fi notat cu , iar pentru a desemna punctul corespunzător sfârșitului vectorului, vom folosi notația . În ceea ce privește produsul punctual obișnuit , . Deoarece este un câmp, produsul punctual este simetric, ceea ce înseamnă . Puteți specifica o corelație între puncte și hiperplanuri. Această corespondență poate fi extinsă la drepte formate din două puncte și intersecția a două hiperplane și așa mai departe. $\mathbf {u}$ $\mathbf {u} _{H}$ $\mathbf {u} _{P)$ $H_{u}=\{\mathbf {x} _{P}:\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=0\)$ $K$ $\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_ {n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x} _{H}\cdot \mathbf {u} _{P}$ ${\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}$

Pe planul proiectiv cu câmpul , avem o corespondență: coordonatele omogene sunt drepte date de ecuațiile . În spațiul proiectiv, corespondența arată ca puncte în coordonatele omogene ↔ ale planului, date de ecuațiile . Această corespondență mapează și dreapta dată de cele două puncte și dreptei care este intersecția celor două plane date de ecuațiile și . $\operatorname {PG} (2,K)$ $K$ $(a,b,c)\leftrightarrow$ $ax+by+cz=0$ $\operatorname {PG} (3,K)$ $(a,b,c,d)$ $ax+by+cz+dw=0$ $(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})$ $(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})$ $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0$

Produsul scalar în poate fi înlocuit cu o formă biliniară arbitrară nedegenerată, construind astfel alte corelații. $K^{n+1}$

Construcția geometrică a transformării reciproce

Corespondența în coordonate omogene poate fi descrisă geometric. Pentru aceasta se folosește modelul planului proiectiv real „sfera unitară cu identificarea antipodelor [8] ” sau, echivalent, modelul liniilor și planurilor care trec prin originea spațiului . Să comparăm dreapta care trece prin originea coordonatelor cu singurul plan ortogonal cu aceasta, care conține originea coordonatelor. Dacă în acest model liniile sunt considerate puncte, iar planurile drept linii ale planului proiectiv , această comparație devine o corespondență (de fapt, o mapare polară) a planului proiectiv. Un model sferic poate fi obținut ca intersecția dreptelor și a planurilor care trec prin origine, cu o sferă unitară centrată la origine. Dreptele intersectează sfera în două puncte opuse, care sunt identificate pentru a obține un punct în planul proiectiv, în timp ce planele intersectează sfera în cercuri mari , care sunt liniile planului proiectiv. $\operatorname {PG} (2,R)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatorname {PG} (2,R)$

Că o asemenea juxtapunere „conservă” incidența este ușor de arătat în modelul de linii și planuri. Un punct incident unei linii din planul proiectiv corespunde unei linii situate pe planul din model. Cu dualitate, planul devine o linie dreaptă care trece prin origine și perpendiculară pe plan. Această imagine (linie) este perpendiculară pe orice linie situată pe planul original și în special pe linia originală (un punct pe planul proiectiv). Toate liniile perpendiculare pe linia originală formează un plan, care este imaginea liniei originale. Astfel, imaginea liniei se află în imaginea planului, astfel încât incidența este păstrată.

Poli și polari

Pe planul euclidian fixăm un cerc cu centru și rază . Pentru fiecare punct diferit de , definim imaginea pe rază conform regulii . Maparea astfel definită se numește inversarea cercului . O dreaptă care trece prin și perpendiculară pe se numește polara punctului față de cerc . $C$ $O$ $r$ $P$ $O$ $P'=Q$ $OP$ $OP\cdot OQ=r^{2}$ $P\mapsto Q$ $C$ $q$ $P$ $OP$ $Q$ $C$

Să fie o linie care nu trece prin . Să lăsăm perpendiculara de la punct la dreapta . Fie imaginea punctului sub inversare în raport cu . Apoi se spune că acesta este polul liniei . Dacă punctul se află pe o dreaptă (nu trece prin ), atunci polul dreptei se află pe polara punctului și invers. Astfel, o mapare care duce puncte și linii la polarii și polii lor în raport cu , păstrează incidența și este o transformare proiectivă a . [9] $q$ $O$ $OP$ $O$ $q$ $Q$ $P$ $C$ $Q$ $q$ $M$ $q$ $O$ $Q$ $q$ $m$ $M$ $C$

Pentru a face din acest proces o transformare unu-la-unu și a-l transforma într-o corelație , planul euclidian trebuie extins la planul proiectiv prin adăugarea unei linii la infinit și a punctelor la infinit care se află pe această dreaptă la infinit. Pe acest plan extins, definim polara unui punct drept linia la infinit (și punctul este polul dreptei la infinit), iar polii liniilor prin punctele la infinit, unde, dacă linia are o pantă , polul său este punctul de la infinit corespunzător dreptelor paralele de clasă cu pantă . Polul unei axe este un punct la infinitatea liniilor verticale, iar polul unei axe este un punct la infinitatea liniilor orizontale. $O$ $O$ $O$ $s(\neq 0)$ $-1/s$ $X$ $y$

Construcția transformării polare pentru inversare despre un cerc dat mai sus poate fi generalizată folosind inversarea despre secțiuni conice (pe planul real extins). Transformarea reciprocă astfel construită este o corelație proiectivă de ordinul 2, adică o transformare polară.

Maparea unei sfere la un plan

Modelul plan proiectiv cu sfera unitară este izomorf (ținând cont de proprietatea de incidență) al modelului plan, unde planul este extins de linia proiectivă la infinit. În acest model, punctele opuse ale sferei (față de centru) sunt considerate a fi un punct.

Pentru a asocia punctele sferei cu punctele din plan, presupunem că sfera atinge planul la un moment dat și alegem acest punct ca origine a planului. Acum să tragem o linie printr-un punct de pe sferă și centrul sferei. Această linie va intersecta sfera la un moment dat. Punctul rezultat poate fi folosit pentru a construi o mapare unu-la-unu

f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow {\mathbb {R}}P^{2}.

Dacă punctele din sunt date în coordonate omogene , atunci ${\mathbb {R}}P^{2}$

f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],

f^{{-1}}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \ peste z}\right)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\right).

Liniile de pe modelul plan sunt proiecții ale cercurilor mari ale sferei, deoarece un plan poate fi trasat printr-o linie pe plan și originea coordonatelor tridimensionale, iar acest plan va intersecta sfera de-a lungul cercului mare.

După cum se poate observa, orice cerc mare de pe sferă poate fi asociat cu un punct proiectiv corespunzător unei singure linii perpendiculare pe planul pe care se află cercul și care poate fi definit ca dual. Această linie intersectează planul tangent și aceasta arată cum să asociezi un singur punct al planului cu orice dreaptă a acestui plan, în așa fel încât punctul să fie dual cu dreapta.

Note

↑ J.V. Jung. Geometrie proiectivă. - Moscova: Stat. ed. Literatură străină, 1949. - S. 30.
↑ Coxeter, 2003 , p. 26
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linear algebra and geometry. - cap. 11, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Pevsner, 1980 , pp. 68-69 § 13 Colineații
↑ Dembowski, 1968 p.151.
↑ Punctele care se află pe aceeași linie se numesc coliniare, adică se află pe aceeași linie. Transformarea coliniară păstrează proprietatea colineității. Vezi Volberg, 1949
↑ Pevzner, 1980 , pp. 45-46, Relația dublă a punctelor și a liniilor în plan
↑ punctele opuse ale sferei (capete ale diametrului) se numesc antipozi .
↑ Coxeter și Greitzer, 1978 pg.165

Literatură

A. Adrian Albert, Reuben Sandler. O introducere în planurile proiective finite. — New York: Holt, Rinehart și Winston, 1968.
F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlin.
R. Baer. Algebră liniară și geometrie proiectivă. - Moscova: Editura de literatură străină, 1955.
MK Bennett. Geometrie afină și proiectivă . - New York: Wiley, 1995. - ISBN 0-471-11315-8 .
Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Geometrie proiectivă: de la fundații la aplicații. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - ISBN 0-521-48277-1 .
Ray Casse. Geometrie proiectivă: o introducere. - New York: Oxford University Press, 2006. - ISBN 0-19-929886-6 .
Judith N. Cederberg. Un curs de Geometrie Modernă. - New York: Springer-Verlag, 2001. - ISBN 0-387-98972-2 .
G.S.M. Coxeter. Plan proiectiv real. - Moscova: Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1959.
Coxeter, HSM Geometrie proiectivă. — Ed. a II-a. - Springer Verlag, 2003. - ISBN 978-0-387-40623-7 .
G.S.M. Coxeter. Introducere în geometrie. - Moscova: „Nauka” Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1968.
G.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Noi întâlniri cu geometria. - Moscova: „Nauka” Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1978. - (Biblioteca cercului matematic).
Dembowski Peter. Geometrii finite. Berlin: Springer Verlag, 1968.
Lynn E Garner. O schiță a geometriei proiective. - New York: Olanda de Nord, 1981. - ISBN 0-444-00423-8 .
Greenberg, MJ Geometrii euclidiene și non-euclidiene. — Ed. a IV-a. - Freeman, 2007.
R. Hartshorne. Fundamentele geometriei proiective. - Moscova: „Mir”, 1970. - „Seria populară „Matematică modernă”.
Hartshorne Robin. Geometrie: Euclid și dincolo. — Springer, 2000.
D. Gilbert, S. Cohn-Vossen. geometria vizuală. - Moscova, Leningrad: Ediția principală a literaturii tehnice generale și a nomografiei, 1936.
DR Hughes, FC Piper. planuri proiective. — Springer, 1973.
F. Karteszi. Introducere în Geometriile finite. - Amsterdam: Olanda de Nord, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
RJ Mihailek. Geometrie proiectivă și structuri algebrice . - New York: Academic Press, 1972. - ISBN 0-12-495550-9 .
S. Ramanan. Geometrie proiectivă // Rezonanță. - Springer India, august 1997. - Vol. 2 , nr. 8 . — S. 87–94 . — ISSN 0971-8044 . - doi : 10.1007/BF02835009 .
Pierre Samuel. Geometrie proiectivă . - New York: Springer-Verlag, 1988. - ISBN 0-387-96752-4 .
Frederick W. Stevenson. planuri proiective. - San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
Oswald Veblen, JWA Young. geometrie proiectivă. - Boston: Ginn & Co., 1938. - ISBN 978-1-4181-8285-4 .
O.A. Volberg. Idei de bază ale geometriei proiective. - Moscova, Leningrad: Uchpedgiz, 1949.
S.L. Pevzner. Geometrie proiectivă. - Moscova: „Iluminismul”, 1980. - S. 68-69 § 13 Coliniari.
IAD. Alexandrov , N.Yu. Netsvetaev. Geometrie. - Moscova: Nauka, 1990.
I.R. Şafarevici , A.O. Remizov. Algebră liniară și geometrie. — Moscova: Fizmatlit, 2009.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Duality Principle (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .