Coordonatele Eddington-Finkelstein

Coordonatele Eddington-Finkelstein sunt o pereche de sisteme de coordonate pentru metrica Schwarzschild ( gaura neagră simetrică sferică ), care este adaptată pentru geodezice nule . Geodezicul nul este linia mondială pentru fotoni ; Geodezice radiale sunt acelea de-a lungul cărora fotonii călătoresc direct spre sau departe de masa centrală. Acest cuplu poartă numele lui Arthur Stanley Eddington [1] și David Finkelstein [2] . Se crede că au sugerat ideea, dar niciunul dintre ei nu a notat vreodată în mod explicit aceste coordonate sau valori. Deși Roger Penrose [3] a fost primul care a scris-o, Finkelstein, în articolul citat mai sus, și Eddington și Finkelstein în eseul lor pentru Premiul Adams, sunt creditați cu descoperirea coordonatelor mai târziu în acel an. Cei mai influenți Charles Misner , Kip Thorne și John Wheeler se referă la aceste coordonate sub acest nume în cartea lor Gravity [4] .

În aceste sisteme de coordonate, razele radiale de lumină, fiecare urmând o geodezică nulă pe măsură ce se îndepărtează de sau spre centru, definesc suprafețe de „timp” constant, în timp ce coordonata radială este coordonata obișnuită a spațiului, astfel încât suprafețele sunt transversale. la coordonata radială, au simetrie de rotație cu o zonă de 4π r 2 . Un avantaj al acestui sistem de coordonate este că arată că caracteristica aparentă la raza Schwarzschild este doar o singularitate de coordonate , nu o singularitate fizică adevărată. Deși acest fapt a fost recunoscut de Finkelstein, nu a fost recunoscut (sau cel puțin nu a fost comentat) de Eddington, al cărui scop principal a fost să compare și să contrasteze soluțiile simetrice sferice din teoria gravitației a lui Whitehead și versiunea relativității a lui Einstein.

metrica Schwarzschild

Coordonatele Schwarzschild se numesc coordonateastfel încât în aceste coordonate metrica Schwarzschild este scrisă ca: $(t,r,\theta,\varphi)$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

Unde

d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2)

metrica riemanniana standard a unei sfere bidimensionale.

Aici sunt utilizate următoarele convenții: semnătura metrică (− + + +) și unități naturale , unde c = 1 este viteza adimensională a luminii, G este constanta gravitațională și M este masa caracteristică a geometriei Schwarzschild.

Coordonata broasca testoasa

Coordonatele Eddington-Finkelstein se bazează pe coordonatele broaștei testoase [4] , care provine dintr-unul dintre paradoxurile lui Zeno despre o cursă imaginară între Ahile „cu picior iute” și o țestoasă .

Coordonatele țestoasei sunt definite după cum urmează [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

care satisface:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

Coordonatele țestoasei se apropie pe măsură ce se apropie de raza Schwarzschild . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ $2GM$

Când orice sondă (de exemplu, un fascicul de lumină sau un observator) se apropie de orizontul de evenimente al unei găuri negre, coordonatele sale temporale Schwarzschild crește la infinit. Liniile geodezice zero care merg la infinit în acest sistem de coordonate au o schimbare infinită în t atunci când trec dincolo de orizont. Coordonatele broaștei testoase crește la infinit la ritmul adecvat și elimină comportamentul singular în sistemele de coordonate construite pe baza ei.

Creșterea coordonatei de timp la infinit pe măsură ce vă apropiați de orizontul de evenimente este motivul pentru care informațiile de la orice sondă trimise printr-un astfel de orizont de evenimente nu pot fi returnate. Și asta în ciuda faptului că sonda însăși se poate deplasa dincolo de orizont. Acesta este și motivul pentru care metrica spațiu-timp a unei găuri negre, exprimată în coordonatele Schwarzschild, devine singulară la orizont - și astfel nu poate fi utilizată pentru o imagine completă (pe întreaga regiune a spațiului) a traiectoriei sondei în cădere.

Metric

Sistemul de coordonate Eddington-Finkelstein care se micșorează este obținut prin înlocuirea coordonatei t cu o nouă coordonată . În aceste coordonate, metrica Schwarzschild poate fi scrisă ca [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

unde se presupune că

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2)

metrica Riemanniană standard pe sfera bidimensională a razei unitare.

În mod similar, sistemul de coordonate Eddington-Finkelstein în expansiune se obține prin înlocuirea t cu o nouă coordonată . Apoi metrica este dată de expresia [6] $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

În ambele sisteme de coordonate, metrica nu are în mod clar nicio singularitate la raza Schwarzschild (chiar dacă o componentă dispare la acea rază, determinantul metricii tot nu dispare, iar metrica inversă nu are nici termeni divergenți în acel punct) . Sistemul de coordonate în expansiune descrie ejecția particulelor din centrul în afara razei gravitaționale, dar atunci când încearcă să-l folosească pentru particulele care căde în interiorul razei gravitaționale, apare o singularitate similară cu cea Schwarzschild. Pentru un sistem de coordonate contractant, particulele care intră în interiorul razei gravitaționale nu au o singularitate, dar apare o singularitate atunci când încearcă să descrie particulele care ies în afara razei gravitaționale. Un sistem de coordonate micsor este folosit pentru a descrie colapsul gravitațional [7] .

Pentru suprafețele zero v=const sau =const , sau echivalent =const sau u=const , se dovedește că dv/dr și du/dr se apropie de 0 și ± 2 la r mare , mai degrabă decât ± 1, așa cum ar fi de așteptat, dacă considerăm u sau v drept „timp”. Când se construiesc diagrame Eddington-Finkelstein, suprafețele cu u sau v constantă sunt de obicei desenate ca conuri, iar liniile constante u sau v sunt desenate ca înclinate la 45 de grade, nu ca plane [8] . Unele surse folosesc înlocuirea în schimb , care corespunde planurilor din astfel de diagrame. În aceste coordonate (pentru ), metrica devine $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

care devine Minkowski pentru r mare . Aceste coordonate și valori de timp au fost prezentate de Eddington și Finkelstein în lucrările lor.

Coordonatele Eddington-Finkelstein sunt încă incomplete și pot fi extinse. De exemplu, mutarea la infinit este o geodezică asemănătoare timpului, definită (cu timpul adecvat ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aliniat}}

au v ( τ ) → −∞ ca τ → 2 GM . Adică, această geodezică asemănătoare timpului are o lungime proprie finită față de trecut, unde iese din orizont ( r = 2 GM ) pe măsură ce v se apropie . Domeniile pentru v finit și r < 2 GM sunt diferite de cele pentru u finit și r < 2 GM . Un orizont cu r = 2 GM și un v final ( orizontul găurii negre ) este diferit de un orizont cu r = 2 GM și u final ( orizontul găurii albe ). $-\infty$

Metrica în coordonatele Kruskal-Szekeres acoperă întregul spațiu-timp extins Schwarzschild într-un singur sistem de coordonate. Principalul său dezavantaj este că în aceste coordonate metrica depinde atât de coordonatele temporale, cât și de cele spațiale. În sistemul de coordonate Eddington-Finkelstein, ca și în coordonatele Schwarzschild, metrica nu depinde de „timp” (fie t în Schwarzschild, fie u sau v în diferite sisteme de coordonate Eddington-Finkelstein), dar niciuna dintre ele nu acoperă întregul spațiu -timp [7] .

Coordonatele Eddington-Finkelstein au unele asemănări cu coordonatele Gullstrand-Painlevé , în sensul că ambele sunt independente de timp și pătrund (regulat) fie în orizonturile viitoare (gaura neagră), fie în trecut (gaura albă). Ambele metrici nu sunt diagonale (hipersuprafețele de „timp” constant nu sunt ortogonale cu hipersuprafețele de constantă r ). Acestea din urmă au o metrică spațială plată, în timp ce suprafețele spațiale (constante de „timpul”) ale primei sunt zero și au aceeași metrică ca un con de lumină în spațiul Minkowski ( în spațiu-timp plat). $t=\pm r$

Note

↑ Eddington A. S. (februarie 1924). „ Compararea formulelor Whitehead și Einstein ” (PDF) . Natura . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Arhivat (PDF) din original pe 22.11.2021 . Preluat 2021-06-26 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ David Finkelstein (1958). „ Asimetria câmpului gravitațional al unei particule punctiforme în trecut și viitor ” . Revizuirea fizică . 110 : 965-967. Cod biblic : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). „ Prăbușirea gravitației și singularitățile spațiu-timp ” . Scrisori de revizuire fizică . 14 (3):57-59. Cod biblic : 1965PhRvL..14 ...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne & Wheeler, 1977 , p. 24.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , p. 25.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , p. 26.
↑ 1 2 Misner, Thorne și Wheeler, 1977 , p. 27.
↑ Vezi, de exemplu, caseta 31.2 din Gravity.

Literatură

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - 510 p.