Metrica Schwarzschild

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 martie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Metrica Schwarzschild este singura soluție exactă cu simetrie sferică a ecuațiilor Einstein fără o constantă cosmologică în spațiul gol datorită teoremei Birkhoff . În special, această măsurătoare descrie cu acuratețe câmpul gravitațional al unei găuri negre solitare, nerotatoare și neîncărcate și câmpul gravitațional din afara unui corp masiv simetric sferic solitar. Numit după Karl Schwarzschild , care l - a descoperit pentru prima dată în 1916 .

Această soluție este statică, așa că undele gravitaționale sferice sunt imposibile.

Tipul valorii

Coordonatele Schwarzschild

În așa-numitele coordonate Schwarzschild , dintre care ultimele 3 sunt similare cu cele sferice , tensorul metric al celei mai importante părți din punct de vedere fizic al spațiului-timp Schwarzschild cu topologie (produsul unei regiuni a spațiului euclidian bidimensional și a unui sferă bidimensională) are forma $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\ori S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.

Intervalul din această metrică este scris ca

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\right),

unde este așa-numita rază Schwarzschild , sau rază gravitațională , este masa care creează câmpul gravitațional (în special masa unei găuri negre), este constanta gravitațională , este viteza luminii . În acest caz, zona de schimbare a coordonatelor cu identificarea punctelor și , ca în coordonatele sferice obișnuite . $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ $M$ $G$ $c$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta,\varphi =0)$ $(t,r,\theta,\varphi =2\pi)$

Coordonata nu este lungimea vectorului cu rază, ci este introdusă astfel încât aria sferei din metrica dată să fie egală cu . În acest caz, „distanța” dintre două evenimente cu alte coordonate diferite (dar identice) este dată de integrală $r$ $t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

La sau , metrica Schwarzschild tinde (din punct de vedere al componentelor) către metrica Minkowski în coordonate sferice, astfel încât departe de un corp masiv, spațiu-timp se dovedește a fi aproximativ pseudo-euclidian de semnătură . Deoarece at și crește monoton odată cu creșterea , atunci timpul potrivit în punctele din apropierea corpului „curge mai lent” decât departe de acesta, adică decelerația gravitațională a timpului are loc de corpurile masive. $M\la 0$ $r\to\infty$ $M$ $(1,3)$ $g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Caracteristici diferențiale

Pentru un câmp gravitațional simetric central în vid (și acesta este cazul metricii Schwarzschild), putem pune:

g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.

Apoi simbolurile Christoffel independente nenule au forma

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda },

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatorname {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta \,e^{-\lambda }.

Invarianții tensorului de curbură sunt

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\dreapta)^{3}.

Tensorul de curbură este de tip Petrov . $\mathbf {D}$

Defect de masă

Dacă există o distribuție sferică simetrică a materiei „rază” (în termeni de coordonate) , atunci masa totală a corpului poate fi exprimată în termeni de tensorul său energie-impuls prin formula $A$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

În special, pentru o distribuție statică a materiei , unde este densitatea de energie în spațiu. Având în vedere că volumul stratului sferic în coordonatele pe care le-am ales este egal cu $T_{0}^{0}=\varepsilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

înţelegem asta

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.

Această diferență exprimă defectul gravitațional al masei corporale . Se poate spune că o parte din energia totală a sistemului este conținută în energia câmpului gravitațional, deși este imposibil de localizat această energie în spațiu.

Singularitatea în metrică

La prima vedere, metrica conține două caracteristici: la și la . Într-adevăr, în coordonatele Schwarzschild, o particulă care cade pe un corp va avea nevoie de un timp infinit de lung pentru a ajunge la suprafață , cu toate acestea, trecerea, de exemplu, la coordonatele Lemaitre în cadrul de referință comoving arată că din punctul de vedere al incidentului observator, nu există nicio caracteristică spațiu-timp pe această suprafață și atât suprafața în sine, cât și regiunea vor fi atinse într-un timp propriu finit . $r=0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\aproximativ 0$

Singularitatea reală a metricii Schwarzschild se observă doar la , unde invarianții scalari ai tensorului de curbură tind spre infinit . Această caracteristică ( singularitate ) nu poate fi eliminată prin schimbarea sistemului de coordonate. $r\la 0$

Orizontul evenimentului

Suprafața se numește orizont de evenimente . Cu o alegere mai bună a coordonatelor, de exemplu în coordonatele Lemaitre sau Kruskal, se poate demonstra că niciun semnal nu poate ieși din gaura neagră prin orizontul evenimentului. În acest sens, nu este de mirare că câmpul din afara găurii negre Schwarzschild depinde doar de un singur parametru - masa totală a corpului. $r=r_{s}$

Coordonatele lui Kruskal

Se poate încerca să se introducă coordonate care nu dau o singularitate la . Există multe astfel de sisteme de coordonate cunoscute, iar cel mai comun dintre ele este sistemul de coordonate Kruskal, care acoperă cu o singură hartă întreaga varietate extinsă maxim care satisface ecuațiile de vid ale lui Einstein (fără constanta cosmologică). Acest spațiu -timp mai mare este de obicei numit spațiu Schwarzschild (extins maxim) sau (mai rar) spațiu Kruskal ( diagrama Kruskal–Szekeres ). Metrica în coordonatele Kruskal are forma $r=r_{s}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

unde , iar funcția este definită (implicit) de ecuația . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ $r(u,v)$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

Spațiul este maxim , adică nu mai poate fi încorporat izometric într-un spațiu-timp mai mare, iar aria în coordonatele Schwarzschild ( ) este doar o parte (aceasta este zona - zona I din figură). Un corp care se mișcă mai lent decât lumina - linia mondială a unui astfel de corp va fi o curbă cu un unghi de înclinare față de verticală mai mic decât , vezi curba din figură - poate pleca . În acest caz, se încadrează în regiunea II, unde . După cum se vede din figură, nu va mai putea părăsi această zonă și se va întoarce în ea (pentru aceasta, ar trebui să se abată mai mult de unul de la verticală, adică să depășească viteza luminii). Regiunea II este astfel o gaură neagră. Limita sa (polilinie, ) este, în consecință, orizontul evenimentelor. ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $v>0,\ r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $\gamma$ ${\mathcal {M}}$ $r<r_{s)$ $r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

Mai există un domeniu III asimptotic plat în care se pot introduce și coordonatele Schwarzschild. Totuși, această regiune nu are legătură cauzal cu regiunea I, ceea ce face imposibilă obținerea oricărei informații despre ea, rămânând în afara orizontului evenimentului. În cazul unei prăbușiri reale a unui obiect astronomic, regiunile IV și III pur și simplu nu apar, deoarece partea stângă a diagramei prezentate trebuie înlocuită cu un spațiu-timp nevid plin cu materie care se prăbușește. ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Observăm câteva proprietăți remarcabile ale spațiului Schwarzschild extins maxim : ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Este singular: coordonatele unui observator care cade sub orizont scade și tinde spre zero atunci când timpul său propriu tinde către o valoare finită . Cu toate acestea, linia sa mondială nu poate fi extinsă în zonă , deoarece nu există puncte cu în acest spațiu. Astfel, soarta observatorului ne este cunoscută doar până la un anumit punct al (propriului) timp. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r=0$
Deși spațiul este static (este clar că metrica (1) nu depinde de timp), spațiul nu este. Acest lucru este formulat mai strict după cum urmează: vectorul Killing , care este asemănător timpului în , devine asemănător spațiului în regiunile II și IV ale spațiului extins . ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$
Regiunea III este de asemenea izometrică . Astfel, spațiul Schwarzschild extins maxim conține două „universuri” - „al nostru” (acest ) și altul din același. Regiunea II din interiorul găurii negre care le leagă se numește podul Einstein-Rosen . Un observator care pleacă de la I și se mișcă mai lent decât lumina nu va putea pătrunde în al doilea univers (vezi Fig. 1), totuși, în intervalul de timp dintre traversarea orizontului și lovirea singularității, va putea să o vadă . Această structură a spațiu-timp, care persistă și chiar devine mai complexă atunci când se consideră găuri negre mai complexe, a dat naștere a numeroase speculații despre posibile „alte” universuri și călătoresc prin găurile negre din ele atât în literatura științifică, cât și în science fiction (vezi Molecule ). ). vizuini ). ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Mișcarea orbitală

Istoria achiziției și interpretării

Metrica Schwarzschild, acționând ca un obiect de interes teoretic semnificativ, este și un fel de instrument pentru teoreticieni, aparent simplu, dar care totuși duce imediat la întrebări dificile.

La mijlocul anului 1915, Einstein a publicat ecuațiile preliminare pentru teoria gravitației . Acestea nu erau încă ecuațiile lui Einstein, dar au coincis deja cu cele finale în cazul vidului . Schwarzschild a integrat ecuațiile cu simetrie sferică pentru vid în perioada de la 18 noiembrie 1915 până la sfârșitul anului. La 9 ianuarie 1916, Einstein, pe care Schwarzschild l-a abordat cu privire la publicarea articolului său în Berliner Berichte, i-a scris că „și-a citit opera cu mare pasiune” și „a rămas uluit că adevărata soluție la această problemă poate fi exprimată astfel. cu ușurință” – Einstein s-a îndoit inițial dacă este chiar posibil să se obțină o soluție la astfel de ecuații complexe. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild și-a finalizat munca în martie, obținând și o soluție internă statică sferic simetrică pentru un lichid de densitate constantă. În acest moment, a căzut asupra lui o boală ( pemfigus ), care l-a adus în mormânt în luna mai. Din mai 1916, I. Droste, student al lui G. A. Lorentz, efectuând cercetări în cadrul ecuațiilor finale ale câmpului Einstein, a obținut o soluție la aceeași problemă printr-o metodă mai simplă decât Schwarzschild. El deține și prima încercare de a analiza divergența soluției, deoarece aceasta tinde spre sfera Schwarzschild.

În urma lui Droste, majoritatea cercetătorilor au început să se mulțumească cu diverse considerații menite să demonstreze impenetrabilitatea sferei Schwarzschild. În același timp, considerațiile de natură teoretică au fost susținute de un argument fizic, conform căruia „aceasta nu există în natură”, întrucât nu există corpuri, atomi, stele, a căror rază ar fi mai mică decât raza Schwarzschild. .

Pentru K. Lanczos, ca și pentru D. Gilbert, sfera Schwarzschild a devenit un prilej de a se gândi la conceptul de „singularitate”, pentru P. Painlevé și școala franceză a fost obiect de controverse, la care s-a alăturat Einstein.

În timpul colocviului de la Paris din 1922, organizat în legătură cu vizita lui Einstein, nu numai că a fost ideea că raza Schwarzschild nu va fi singulară, ci și o ipoteză care anticipează ceea ce se numește acum colapsul gravitațional .

Dezvoltarea pricepută a lui Schwarzschild a fost doar un succes relativ. Nici metoda și nici interpretarea sa nu au fost adoptate. Din opera sa, aproape nimic nu s-a păstrat, cu excepția rezultatului „gol” al metricii, cu care a fost asociat numele creatorului său. Dar chestiunile de interpretare și, mai ales, problema „singularității lui Schwarzschild” nu erau încă rezolvate. A început să se cristalizeze punctul de vedere că această singularitate nu contează. Două căi au condus la acest punct de vedere: pe de o parte, cea teoretică, conform căreia „singularitatea Schwarzschild” este impenetrabilă, iar pe de altă parte, cea empirică, constând în faptul că „aceasta nu există în natură." Acest punct de vedere s-a răspândit și a devenit dominant în toată literatura de specialitate din acea vreme.

Următoarea etapă este legată de studiul intensiv al gravitației la începutul „epocii de aur” a teoriei relativității.

Literatură

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. transl.: Schwarzschild K. Despre câmpul gravitațional al unei mase punctuale în teoria lui Einstein // Albert Einstein și teoria gravitației. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. În memoria lui Karl Schwarzschild // Einstein A. Colecție de lucrări științifice. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Centenarul relativității generale (1915-2015); Soluția Schwarzschild și găurile negre . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Vezi și

Link -uri

Principalele concluzii ale teoriei relativității

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc

Găuri negre

Tipuri

Dimensiuni

Educaţie

Proprietăți

orizontul evenimentelor
Termodinamica găurilor negre
Raza gravitațională
Sferă fotonică
Ergosferă
Procesul Penrose
Procesul Blanford - Znaeka
Acreția Bondi
spaghetificare
Lentila gravitațională
Raportul M-sigma
Oscilații cvasi-periodice
Radiația Hawking
Dispariția informațiilor într-o gaură neagră

Modele

Paradigma membranei
Singularitatea gravitațională
Singularitatea inelului
gaura neagră primordială
Gravastar
Stea intunecata
stea cu energie întunecată
Steaua Neagră
Magnetosferă care se prăbușește permanent
Fazball
Singularitate goală
gaura alba
Mole Hole
parametrul Immirji
Kugelblitz
Quasistar
Steaua Planck
Casp Bacalla - Wolfa

teorii

Soluții exacte în relativitatea generală

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Soluție exactă a găurii negre

subiecte asemănătoare

Categorie:Gauri negre