Lema Schura

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Lema lui Schur este o afirmație care este una dintre principalele în construcția teoriei reprezentării grupurilor .

Enunțul lemei

O reprezentare a unui grup prin automorfisme ale unui spațiu vectorial se spune că este ireductibilă dacă nu există un subspațiu invariant în raport cu 0 și însuși . $G$ $GL(V)$ $\sigma :G\la GL(V)$ $\sigma$ $V$

Lema lui Schur : Fie o mapare liniară a spațiilor vectoriale pe un câmp astfel încât să existe două reprezentări ireductibile și , astfel încât pentru toate . Apoi: $f$ $f:V_{1}\la V_{2}$ $K$ $\sigma :G\to GL(V_{1})$ $\tau :G\to GL(V_{2})$ $\tau _{g}f=f\sigma _{g)$ $g$

1) Dacă nu este un izomorfism , atunci este o mapare zero. $f$ $f$

2) Dacă sunt de dimensiuni finite peste un câmp algebric închis și , atunci este o înmulțire cu un element al câmpului . $V_{1}=V_{2}$ $K$ $\sigma=\tau$ $f$ $f:x\to \lambda x$

Dovada

Baza demonstrației este următoarea afirmație generală, care este adesea numită „lema Schur”:

Fie și să fie module care sunt simple (adică, nu au submodule altele decât zero și el însuși). Atunci orice homomorfism este fie nul, fie un izomorfism pe . $E$ $F$ $f:E\săgeată la dreapta F$ $F$

Într-adevăr, deoarece și sunt submodule, atunci dacă un homomorfism diferit de zero, avem , și , adică , un izomorfism la întregul modul . ${\mathrm {Ker}}\,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $f$ ${\mathrm {Ker}}\,f=0$ ${\mathrm {Im}}\,f=F$ $f$ $F$

Acum să definim inelul de grup . Elementele acestui inel vor fi combinații liniare . Înmulțirea este determinată în continuare de liniaritate. Este clar că inelul. Pe spatiu definim inmultirea unui element de la un element : . Astfel, ne transformăm într-un modul peste inel . Verificarea axiomelor unui modul este trivială, deoarece este o reprezentare. în mod similar, înlocuirea cu va fi un modul peste , iar egalitatea este că maparea este un homomorfism al modulelor. Deoarece și sunt ireductibile, ceea ce înseamnă că și sunt simple ca module peste , se demonstrează prima parte a lemei. $KG]$ $k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$ $(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$ $KG]$ $V_{1}$ $KG]$ $x\în V_{1}$ $(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{{g_{1}}}x +k_{2}\sigma _{{g_{2}}}x+...+k_{n}\sigma _{{g_{n}}}x$ $V_{1}$ $KG]$ $\sigma$ $V_{2}$ $\sigma$ $\tau$ $KG]$ $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ $f$ $\sigma$ $\tau$ $V_{1}$ $V_{2}$ $KG]$

Pentru a demonstra cea de-a doua parte, folosim binecunoscuta afirmație a algebrei liniare despre existența unui vector propriu pentru un spațiu finit-dimensional peste un câmp algebric închis corespunzător valorii proprii , . Pentru orice element avem , iar pentru vectorul propriu , prin urmare , conform primei părți a lemei, este un homomorfism zero și, prin urmare, este o înmulțire cu unele . $x\neq 0$ $\lambda$ $f(x)=\lambda x$ $g\în G$ $\sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id})=(f-\lambda \operatorname {id})\sigma _{g}$ $(f-\lambda \operatorname {id} )(x)=0,$ $f-\lambda \operatorname {id}$ $f$ $\lambda$

Literatură

Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea a III-a. Structuri de bază. - Ed. a III-a - M . : FIZMATLIT, 2004.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1967.
Serre J.-P. Reprezentări liniare ale grupurilor finite. — M .: Mir, 1969.