Teorema locală de Moivre-Laplace

Teorema Moivre - Laplace este una dintre teoremele limitative ale teoriei probabilităților, stabilită de Laplace în 1812 . Dacă pentru fiecare dintre încercările independente probabilitatea de apariție a unui eveniment aleatoriu este egală cu , și este numărul de încercări în care are loc efectiv, atunci probabilitatea de valabilitate a inegalității este apropiată (pentru mare ) de valoarea lui integrala Laplace. $n$ $E$ $p\in(0,1)$ $m$ $E$ $n$

Aplicație

Când se ia în considerare numărul de apariții ale unui eveniment în studiile Bernoulli, cel mai adesea este necesar să se găsească probabilitatea care se află între unele valori și . Deoarece pentru suficient de mare intervalul conține un număr mare de uni, atunci utilizarea directă a distribuției binomiale $m$ $A$ $n$ $m$ $A$ $b$ $n$ $[a,b]$

$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(nm)!}}p^{m}q^{{nm}}$

necesită calcule greoaie, deoarece este necesar să se însumeze un număr mare de probabilități determinate de această formulă.

Prin urmare, se folosește o expresie asimptotică pentru distribuția binomială , cu condiția ca aceasta să fie fixă și . Teorema Moivre-Laplace afirmă că o astfel de expresie asimptotică pentru distribuția binomială este o funcție normală. $p$ $n\rightarrow +\infty$

Formulare

Dacă în schema Bernoulli tinde spre infinit, valoarea este constantă, iar valoarea este limitată uniform în și (adică ), atunci $n$ $p\in(0,1)$ $x_{m}={\frac {m-np}{{\sqrt {npq))))$ $m$ $n$ $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$

$P_{n}(m)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}} \right)(1+\alpha _{n}(m))$

unde . $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$

Formula aproximativă

$P_{n}(m)\aprox {\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2)){2} }\dreapta)$

se recomanda aplicarea la si la . $n>100$ $m>20$

Dovada

Pentru a demonstra teorema, vom folosi formula Stirling din analiza matematică :

s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s)),

(unu)

unde . $0<\theta _{s}<1/{12s}$

În mare , valoarea este foarte mică, iar formula Stirling aproximativă , scrisă într-o formă simplă $s$ $\theta$

s!={\sqrt {2\pi }}s^{{s+1/2}}e^{{-s}}

(2)

dă o eroare relativă mică, tinde rapid spre zero la . $s\rightarrow +\infty$

Ne vor interesa valori care nu sunt foarte diferite de cele mai probabile. Apoi, într-o condiție fixă , va însemna și asta $m$ $p$ $n\rightarrow +\infty$

m\rightarrow +\infty ,nm\rightarrow +\infty .

(3)

Prin urmare, utilizarea formulei aproximative a lui Stirling pentru a înlocui factorii în distribuția binomială este validă și obținem

p_{n}(m)\aprox {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(nm)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{ m}\left({\frac {nq}{nm}}\right)^{nm}.

(patru)

De asemenea, va trebui să utilizați abaterea frecvenței relative de la valoarea cea mai probabilă:

x_{m}={\frac {m}{n}}-p.

(5)

Atunci expresia (4) ia forma:

p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{ \frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^ {-n(q-x_{m})}.

(6)

Să ne prefacem că

x_{m}<pq.

(7)

Luând logaritmul celui de-al doilea și al treilea factor de egalitate (6), aplicăm expansiunea seriei Taylor:

-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln { \left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=

-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{ 2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_ {m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3} }}-\cdots\dreapta)\dreapta].

(opt)

Aranjam termenii acestei extinderi in puteri : $x_{m}$

-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\ dreapta)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2} }}\dreapta)+\cdots\dreapta].

(9)

Să presupunem că la $n\rightarrow +\infty ,$

nx_{m}^{3}\rightarrow 0.

(zece)

Această condiție, așa cum am menționat deja mai sus, înseamnă că valorile luate în considerare nu sunt foarte departe de cele mai probabile. Este evident că (10) asigură îndeplinirea (7) și (3). $m$

Acum, neglijând al doilea și următorii termeni din expansiunea (6), aflăm că logaritmul produsului al doilea și al treilea termen al produsului din partea dreaptă a lui (8) este egal cu

-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.

(unsprezece)

Înlăturând termenii mici din paranteze ai primului factor (6), obținem

p_{n}(m)\aproximativ \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq)}}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq }}x_{m}^{2}\dreapta)}.

(12)

Denotand

\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},

(13)

rescrie (12) ca

p_{n}(m)\aprox {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{ \frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),

(paisprezece)

Unde este o funcție normală. $\varphi (x_{m})$

Deoarece există un singur număr întreg în interval , putem spune că există o probabilitate de a cădea în interval . Din (5) rezultă că o modificare cu 1 corespunde unei modificări cu $[m,m+1)$ $m$ $p_{n}(m)$ $m$ $[m,m+1)$ $m$ $x_{m}$

\Delta x={\frac {1}{n)).

(cincisprezece)

Prin urmare, probabilitatea de a cădea în interval este egală cu probabilitatea de a cădea în interval $m$ $[m,m+1)$ $x_{m}$ $[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$

P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.

(16)

Dacă , atunci egalitatea (16) arată, de asemenea, că funcția normală este densitatea variabilei aleatoare . $n\rightarrow +\infty$ $\Delta x\rightarrow +0$ $\varphi(x)$ $x_{m}$

Astfel, dacă atunci pentru abaterea frecvenței relative de la valoarea cea mai probabilă este valabilă formula asimptotică (16), în care este o funcție normală a lui c și . $n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0$ $\varphi(x)$ $x_{m}=0$ $\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$

Astfel, teorema este demonstrată.

Literatură

Gmurman V. E. Teoria probabilităţii şi statistică matematică, - M . : Învăţământ superior. 2005
Shiryaev A. N. Probabilitate, - M .: Nauka. 1989.
Chistyakov V.P. Curs de Teoria Probabilității, Moscova , 1982.