Pătrat magic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 aprilie 2022; verificările necesită 19 modificări .

Magic sau pătrat magic - o masă pătrată plină cu numere diferite, astfel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași. Dacă sumele numerelor numai în rânduri și coloane sunt egale într-un pătrat, atunci se numește semimagie . Un pătrat normal este un pătrat magic plin cu numere naturale de la până la . Un pătrat magic se numește asociativ sau simetric dacă suma oricăror două numere situate simetric în jurul centrului pătratului este egală cu . $n\ ori n$ $n^{2}$ $unu$ $n^{2}$ $n^{2}+1$

Pătratele magice normale există pentru toate ordinele , cu excepția , deși cazul este banal - pătratul este format dintr-un singur număr. Cazul minim non-trivial este prezentat mai jos, are ordinea 3. $n\geq 1$ $n=2$ $n=1$

		3	9	opt	$\sageata dreapta$	cincisprezece
		zece	6	2	$\sageata dreapta$	cincisprezece
		5	patru	9	$\sageata dreapta$	cincisprezece
	$\swarrow$	$\sageata in jos$	$\sageata in jos$	$\sageata in jos$	$\searrow$
cincisprezece		cincisprezece	cincisprezece	cincisprezece		cincisprezece

Suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală se numește constanta magică , M. Constanta magică a unui pătrat magic normal depinde numai de n și este dată de

M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2))

De ce este așa?

Să fie un pătrat cu o latură Apoi vor fi numere în el. $n.$ $n^{2}$

Pe de o parte, suma numerelor $S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).$

Pe de altă parte, $S=nM.$

Echivalând, obținem formula dorită.

Primele valori ale constantelor magice sunt date în următorul tabel (secvența A006003 în OEIS ):

Ordin $n$	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13
$M(n)$	cincisprezece	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

4+5+6 = 15

7+8+9+10 = 34

11+12+15+16+17 = 65

18+19+20+21+22+23 = 111

24+25+26+27+28+29+30 = 175

Pătrate magice semnificative din punct de vedere istoric

Piața Lo Shu

Lo Shu ( trad. chineză 洛書, ex.洛书, pinyin luò shū ) Singurul pătrat magic normal de 3×3. Era cunoscut în China antică , prima imagine de pe o carapace de broască țestoasă datează din 2200 î.Hr. e.

5	zece	3
patru	6	opt
9	2	7

În tradiția vest-europeană, acest pătrat se numește Sigiliul lui Saturn (Sigillum Saturni). Parametri pătrați: 3, 9, 15, 45 (3x3, 9 celule, suma în toate direcțiile este 15, suma tuturor numerelor din pătrat este 45). [unu]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Piața găsită în Khajuraho (India)

Cel mai vechi pătrat magic unic se găsește într-o inscripție din secolul al XI-lea din orașul indian Khajuraho :

7	12	unu	paisprezece
2	13	opt	unsprezece
16	3	zece	5
9	6	cincisprezece	patru

Acesta este primul pătrat magic aparținând varietatii așa-numitelor pătrate „diavolului” [2] .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Pătratul magic al lui Yang Hui (China)

În secolul al XIII-lea. matematicianul Yang Hui a abordat problema metodelor de construire a pătratelor magice. Cercetările sale au fost apoi continuate de alți matematicieni chinezi. Yang Hui a considerat pătratele magice nu numai de al treilea, ci și de ordine superioară. Unele dintre pătratele sale erau destul de complexe, dar întotdeauna dădea reguli pentru construirea lor. El a reușit să construiască un pătrat magic de ordinul al șaselea, iar acesta din urmă s-a dovedit a fi aproape asociativ (doar două perechi de numere central opuse din el nu se adună până la 37) [3] :

27	29	2	patru	13	36
9	unsprezece	douăzeci	22	31	optsprezece
32	25	7	3	21	23
paisprezece	16	34	treizeci	12	5
28	6	cincisprezece	17	26	19
unu	24	33	35	opt	zece

Suma tuturor celor 36 de numere este 666

666 : 6 = 111

Piața lui Albrecht Dürer

Pătratul magic 4x4 descris în gravura lui Albrecht Dürer „ Melancholia I ” este considerat cel mai vechi din arta europeană [4] . Cele două numere din mijloc din rândul de jos indică data la care a fost creată gravura ( 1514 ).

17	patru	3	paisprezece
6	12	13	9
zece	opt	9	13
5	17	16	2

Suma numerelor de pe orice orizontală, verticală și diagonală este 34. Această sumă apare și în toate pătratele de colț 2×2, în pătratul central (10+11+6+7), în pătratul celulelor de colț (16+). 13+4+1 ), în pătratele construite prin „mișcarea cavalerului” (2+12+15+5 și 3+8+14+9), în vârfurile dreptunghiurilor paralele cu diagonalele (2+8+). 15+9 și 3+12+14+5 ), în dreptunghiuri formate din perechi de celule mijlocii pe laturi opuse (3+2+15+14 și 5+8+9+12). Cele mai multe simetrii suplimentare se datorează faptului că suma oricăror două numere simetrice central este 17.

Acest pătrat este „Sigiliul lui Jupiter” (Sigillum Iouis), are parametri: 4, 16, 34, 136 (dimensiune 4x4, 16 celule, suma direcțiilor este 34, suma tuturor numerelor este 136). [unu]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Pătrate magice de Athanasius Kircher [1]

Piața Marte

Pătratul sau sigiliul lui Marte (Sigillum Martis) are următorii parametri: 5, 25, 65, 325 (dimensiune 5x5, 25 de celule, suma direcțiilor este 65, suma tuturor numerelor este 325).

12	25	opt	21	patru
5	13	26	9	17
optsprezece	6	paisprezece	22	zece
unsprezece	19	2	cincisprezece	23
24	7	douăzeci	3	16

325 : 5 = 65

Pătratul Soarelui

Sigiliul Soarelui (Sigillum Solis) are următorii parametri: 6, 36, 111, 666 (dimensiune 6x6, 36 de celule, suma în direcții este 111, suma tuturor numerelor este 666).

6	32	3	34	35	unu
7	unsprezece	27	28	opt	treizeci
19	paisprezece	16	cincisprezece	23	24
optsprezece	douăzeci	22	21	17	13
25	29	zece	9	26	12
36	5	33	patru	2	31

666 : 6 = 111

Piața Venus

Sigiliul lui Venus (Sigillum Veneris) are următorii parametri: 7, 49, 175, 1225 (dimensiune 7x7, 49 de celule, suma direcțiilor este 175, suma tuturor numerelor este 1225).

22	47	16	41	zece	35	patru
5	23	48	17	42	unsprezece	29
treizeci	6	24	49	optsprezece	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	paisprezece	32	unu	26	44	douăzeci
21	39	opt	33	2	27	45
46	cincisprezece	40	9	34	3	28

1225 : 7 = 175

pătratul Mercur

Sigiliul lui Mercur (Sigillum Mercurio) are parametrii: 8, 64, 260, 2080 (dimensiune 8x8, 64 de celule, suma direcțiilor este 260, suma tuturor numerelor este 2080).

opt	58	59	5	patru	62	63	unu
49	cincisprezece	paisprezece	52	53	unsprezece	zece	56
41	23	22	44	45	19	optsprezece	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	treizeci	31	33
17	47	46	douăzeci	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	cincizeci	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080 : 8 = 260

Pătratul Lunii

Sigiliul Lunii (Sigillum Lune) are următorii parametri: 9, 81, 369, 3321 (dimensiune 9x9, 81 de celule, suma direcțiilor este 369, suma tuturor numerelor este 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	treizeci	71	22	63	paisprezece	46
47	7	39	80	31	72	23	55	cincisprezece
16	48	opt	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	optsprezece	cincizeci	unu	42	74	34	66
67	27	59	zece	51	2	43	75	35
36	68	19	60	unsprezece	52	3	44	76
77	28	69	douăzeci	61	12	53	patru	45

3321 : 9 = 369

Squares de Henry E. Dudeney și Allan W. Johnson Jr.

Dacă o serie de numere non-strict naturală este introdusă într-o matrice pătrată n × n , atunci acest pătrat magic este netradițional . Mai jos sunt două astfel de pătrate magice umplute cu numere prime (deși 1 nu este considerat un număr prim în teoria numerelor modernă). Primul are ordinul n=3 (pătratul lui Dudeney); al doilea ( 4x4 în dimensiune ) este un pătrat Johnson. Ambele au fost dezvoltate la începutul secolului al XX-lea [5] :

68	2	44
paisprezece	38	62
32	74	opt

patru	62	douăzeci	40
44	32	patru	42
opt	12	74	treizeci
68	optsprezece	24	cincisprezece

Există câteva alte exemple similare:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

unu	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	unsprezece	787	769	773	419	149	751

Ultimul pătrat, construit în 1913 de J. N. Munsey, este remarcabil prin faptul că este format din 143 de numere prime consecutive, cu excepția a două puncte: este implicată o unitate, care nu este un număr prim, și singurul număr prim par 2. nu este folosit.

Pătrate cu proprietăți suplimentare

Pătrat magic pandiagonal

Un pătrat pandiagonal sau al diavolului este un pătrat magic în care sumele numerelor de-a lungul diagonalelor întrerupte (diagonalele care se formează atunci când un pătrat este pliat într-un tor ) în ambele direcții coincid, de asemenea, cu o constantă magică .

Există 48 de pătrate de diavol 4x4 în forma standard Frenicle - până la rotații și reflexii. Pătratul pandiagonal păstrează proprietăți atunci când înfășoară rânduri sau coloane în paralel . Prin urmare, unitatea poate fi mutată în colțul din stânga sus. Există 12 astfel de pătrate pandiagonale în plan. Acestea sunt prezentate mai jos:

unu	opt	zece	cincisprezece
paisprezece	unsprezece	5	patru
7	2	16	9
12	13	3	6

unu	opt	zece	cincisprezece
12	13	3	6
7	2	16	9
paisprezece	unsprezece	5	patru

unu	12	7	paisprezece
cincisprezece	6	9	patru
zece	3	16	5
opt	13	2	unsprezece

unu	paisprezece	7	12
cincisprezece	patru	9	6
zece	5	16	3
opt	unsprezece	2	13

unu	opt	13	12
cincisprezece	zece	3	6
patru	5	16	9
paisprezece	unsprezece	2	7

unu	opt	13	12
paisprezece	unsprezece	2	7
patru	5	16	9
cincisprezece	zece	3	6

unu	12	13	opt
paisprezece	7	2	unsprezece
patru	9	16	5
cincisprezece	6	3	zece

unu	12	13	opt
cincisprezece	6	3	zece
patru	9	16	5
paisprezece	7	2	unsprezece

unu	opt	unsprezece	paisprezece
cincisprezece	zece	5	patru
6	3	16	9
12	13	2	7

unu	opt	unsprezece	paisprezece
12	13	2	7
6	3	16	9
cincisprezece	zece	5	patru

unu	paisprezece	unsprezece	opt
cincisprezece	patru	5	zece
6	9	16	3
12	7	2	13

unu	12	6	cincisprezece
paisprezece	7	9	patru
unsprezece	2	16	5
opt	13	3	zece

Pe tor, fiecare dintre aceste patru pătrate corespunde unui pătrat. Acest lucru se datorează faptului că dacă tăiați torul, pornind de la celula unitară ca una de colț, atunci acest lucru se poate face în patru moduri, atribuind fiecăruia dintre cele patru colțuri ale celulei unitare unghiul unui pătrat plat. Prin urmare, pe tor există doar 3 pătrate pandiagonale.Orice dintre cele patru corespunzătoare acestuia poate fi folosit pentru a reprezenta un pătrat toric pe un plan.

Pătratele pandiagonale există pentru ordinul impar n>3, pentru orice ordin de paritate dublă n=4k (k=1,2,3...) și nu există pentru ordinul de paritate unică ( ). $n=4k+2$ $k=1,2,3,\dots$

Pătratele pandiagonale de ordinul al patrulea au o serie de proprietăți suplimentare pentru care sunt numite perfecte . Pătratele perfecte de ordine impară nu există. Printre pătratele pandiagonale cu paritate dublă peste 4 există perfecte [6] .

Pătrate pandiagonale de ordinul al cincilea 3600 . Inclusiv traducerile torice paralele, există 144 de pătrate pandiagonale diferite. Una dintre ele este prezentată mai jos.

unu	cincisprezece	24	opt	17
9	optsprezece	2	unsprezece	25
12	21	zece	19	3
douăzeci	patru	13	22	6
23	7	16	5	paisprezece

Dacă pătratul pandiagonal este și asociativ, atunci se numește ideal [7] . Un exemplu de pătrat magic perfect:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	zece	51	58	optsprezece	47	57	paisprezece	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
patru	45	74	3	41	79	opt	37	78
53	55	cincisprezece	49	63	unsprezece	48	59	16
treizeci	68	25	35	64	24	31	72	douăzeci
76	9	38	75	5	43	80	unu	42
17	46	60	13	54	56	12	cincizeci	61

Se știe că nu există pătrate magice ideale de ordinul n = 4k+2 și niciun pătrat de ordinul n = 4 . În același timp, există pătrate perfecte de ordinul n = 8 . Folosind metoda de construire a pătratelor compuse, se pot construi, pe baza unui pătrat dat de ordinul al optulea, pătrate ideale de ordinul n = 8k, k=5,7,9... și de ordinul n = 8^p, p=2,3,4... În 2008, a fost dezvoltată o metodă combinatorie care construiește pătrate perfecte de ordinul n = 4k, k = 2, 3, 4,...

Construcția de pătrate magice

Metoda terasei

Descris de Yu. V. Chebrakov în Theory of Magic Matrices .

Pentru un n impar dat, desenați un tabel pătrat n cu n. Vom atașa terase (piramide) acestei mese pe toate cele patru laturi. Ca rezultat, obținem o figură simetrică în trepte.

$Y$
patru						5
3					patru		zece
2				3		9		cincisprezece
unu			2		opt		paisprezece		douăzeci
0		unu		7		13		19		25
-unu			6		12		optsprezece		24
-2				unsprezece		17		23
-3					16		22
-patru						21
.
	$X$	patru	3	2	unu	0	unu	2	3	patru

Pornind de la vârful stâng al figurii în trepte, umpleți rândurile sale diagonale cu numere naturale consecutive de la 1 la . $N^2$

După aceea, pentru a obține o matrice clasică de ordinul al N-lea, numerele din terase sunt plasate în acele locuri din tabelul NxN în care s-ar afla dacă ar fi mutate împreună cu terasele până când bazele teraselor se învecinează cu partea opusă a mesei.

$Y$
patru
3
2				3	16	9	22	cincisprezece
unu				douăzeci	opt	21	paisprezece	2
0				7	25	13	unu	19
-unu				24	12	5	optsprezece	6
-2				unsprezece	patru	17	zece	23
-3
-patru
.
	$X$	-patru	-3	-2	-unu	0	unu	2	3	patru

3	16	9	22	cincisprezece
douăzeci	opt	21	paisprezece	2
7	25	13	unu	19
24	12	5	optsprezece	6
unsprezece	patru	17	zece	23

În plus, această metodă este valabilă și dacă pătratul magic trebuie compus nu din numere de la 1 la N, ci și de la K la N, unde 1 <= K< N.

Alte moduri

Regulile de construire a pătratelor magice se împart în trei categorii, în funcție de ordinea pătratului impar, egală cu de două ori un număr impar sau egală cu de patru ori un număr impar. Metoda generală de construire a tuturor pătratelor este necunoscută, deși diferite scheme sunt utilizate pe scară largă. [8] [9] Este posibil să găsiți toate pătratele magice de ordin numai pentru , prin urmare proceduri speciale de construire a pătratelor magice pentru . Cea mai simplă construcție este pentru un pătrat magic de ordine ciudată. Trebuie să puneți un număr în celulă cu coordonate (unde și modificați de la 1 la ) (Notă: această formulă este valabilă pentru toate pătratele de ordine impară, cu excepția pătratelor de forma . În aceste pătrate, suma numerelor de pe diagonala principală este cu N mai mult decât constanta magică.) $n$ $n/le 4$ $n>4$ $(i,j)$ $i$ $j$ $n$ $n=6k+3,k=0,1,2...$

1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n)))n+((i+2j+2){\bmod {n))).

Este și mai ușor să construiți construcția după cum urmează. Se ia o matrice nxn. În interiorul lui este construit un romb în trepte. În ea, celulele de la stânga în sus de-a lungul diagonalelor sunt umplute cu un rând consecutiv de numere impare. Se determină valoarea celulei centrale C. Apoi valorile din colțurile pătratului magic vor fi următoarele: celula din dreapta sus C-1 ; celula din stânga jos C+1; celula dreapta jos Cn; celula din stânga sus C+n. Umplerea celulelor goale în triunghiuri de colț trepte se realizează în conformitate cu regulile simple: 1) în rânduri, numerele cresc de la stânga la dreapta în trepte de n + 1; 2) în coloane de sus în jos, numerele cresc cu un pas de n-1.

De asemenea, au fost dezvoltați algoritmi pentru construirea pătratelor pandiagonale [10] [11] și a pătratelor magice ideale 9x9. [12] [13] Aceste rezultate ne permit să construim pătrate magice de ordine perfectă pentru . [7] [14] Există, de asemenea, metode generale de aranjare a pătratelor magice perfecte de ordine impară . [15] [16] Au fost dezvoltate metode de construire a pătratelor magice ideale de ordinul n=8k, k=1,2,3… [17] și a pătratelor magice perfecte. [18] Pătratele padiagonale și ideale de ordin par-impar pot fi combinate numai dacă sunt netradiționale. [19] [20] [21] Cu toate acestea, este posibil să găsim pătrate aproape pandiagonale [22] Se găsește un grup special de pătrate magice ideal perfecte (tradiționale și netradiționale) [23] . $n=9(2k+1)$ $k=0,1,2,3,\dots$ $n>3$

Exemple de pătrate mai complexe

Pătratele magice de ordin impar și ordinea de dublă paritate au fost elaborate cu strictețe metodic. [24] Formalizarea pătratelor de ordinul parității unice este mult mai dificilă, așa cum este ilustrat de următoarele scheme:

optsprezece	24	5	6	12
22	3	9	cincisprezece	16
unu	7	13	19	25
zece	unsprezece	17	23	patru
paisprezece	douăzeci	21	2	opt

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	cincizeci	16
17	47	46	douăzeci	21	43	42	24
40	26	27	37	36	treizeci	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	optsprezece	48
49	cincisprezece	paisprezece	52	53	unsprezece	zece	56
opt	58	59	5	patru	62	63	unu

100	99	93	7	5	6	patru	opt	92	91
unsprezece	89	88	84	16	cincisprezece	17	83	82	douăzeci
treizeci	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
cincizeci	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	optsprezece	paisprezece	85	86	87	13	12	90
zece	9	3	94	95	96	97	98	2	unu

Există zeci de alte metode pentru a construi pătrate magice.

Abordarea șahului

Se știe că șahul , ca și pătratele magice, a apărut cu zeci de secole în urmă în India . Prin urmare, nu întâmplător a apărut ideea unei abordări de șah a construcției de pătrate magice. Această idee a fost exprimată pentru prima dată de Euler . A încercat să obțină pătratul magic plin mergând continuu în jurul cavalerului. Cu toate acestea, nu a reușit să facă acest lucru, deoarece în diagonalele principale sumele numerelor diferă de constanta magică. Cu toate acestea, aspectul de șah vă permite să creați orice pătrat magic. Numerele sunt completate în mod regulat și rând cu rând, ținând cont de culoarea celulelor.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Athanasius Kircher. Aritmologie. - ROMAE: Typographia Varesij, 1665. - S. 64-72. — 317 p.
↑ Dedicat lui Jupiter . Consultat la 8 februarie 2011. Arhivat din original pe 8 februarie 2011. (nedefinit)
↑ V. E. Eremeev „ Știința tradițională a Chinei copie de arhivă din 25 februarie 2008 la Wayback Machine ” , capitolul 5: Matematică .
↑ N. Makarova „ Dürer’s Magic Square Copie de arhivă din 1 iulie 2011 la Wayback Machine ”
↑ A. K. Dudeni „ Sifting the Numerical Sand in Search of Primes Arhivat 21 septembrie 2008 la Wayback Machine ”
↑ N. Makarova „ Pătrate magice perfecte Copie arhivată din 28 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
↑ 1 2 G. Aleksandrov " Ordinea ideală a pătratelor magice , unde $n=9+18k$ $k=2,3,4,\dots$ Arhiva copie a 20 noiembrie 2012 la Wayback Machine "
↑ Piața Magică . Enciclopedia „Circumnavigația” . Arhivat din original la 12 ianuarie 2002. (nedefinit)
↑ N. Makarova „ Metode pentru construirea de pătrate magice (articol de recenzie) Arhivată din 25 aprilie 2009 la Wayback Machine ”
↑ G. Alexandrov „ O metodă pentru construirea unui pătrat magic ideal de ordine impară Arhivată din 29 ianuarie 2008 la Wayback Machine ”
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect panmagic Arhivat 3 noiembrie 2012 la Wayback Machine "
- " Comanda pătrată pandiagonală 4k Arhivată 3 noiembrie 2012 la Wayback Machine "
- „ Program Yabasic pentru construirea unui pătrat pandiagonal de ordinul n = 4 Arhivat 3 noiembrie 2012 la Wayback Machine ”
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Square 9 x 9 Arhivat 3 noiembrie 2012 la Wayback Machine "
- „ Another Perfect 9 x 9 Square Arhivat 3 noiembrie 2012 la Wayback Machine ”
↑ N. Makarova „ Pătratele magice ale ordinului al nouălea Copiat de arhivă din 14 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
↑ N. Makarova „ Pătrate pandiagonale ale ordinelor impare de multipli de nouă Copie de arhivă din 28 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
↑
G. Aleksandrov
- „ Perfect Magic Squares Arhivat 29 februarie 2008 la Wayback Machine ”
- „ Cinci exemple de pătrate magice perfecte de 21 x 21 Arhivat 20 noiembrie 2012 la Wayback Machine ”
- « Pătrate magice ideale de orice ordin impar n>3 Arhivat 12 iulie 2010 la Wayback Machine »
↑
N. Makarova
- „ Pătrate magice ideale. Metoda Seesaw Arhivat 28 aprilie 2011 la Wayback Machine »
- „ O metodă pentru a construi pătrate magice perfecte de ordine impară folosind pătrate latine Arhivat 27 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
↑ N. Makarova „ O metodă pentru construirea pătratelor perfecte de ordinul n = 8k Copie de arhivă din 27 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
↑
N. Makarova
- „ O metodă pentru construirea de pătrate magice perfecte din reversibile Arhivat 27 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
- « O metodă pentru construirea de pătrate magice perfecte folosind pătrate latine generalizate Arhivat 27 aprilie 2011 la Wayback Machine »
- „ Construirea pătratelor magice perfecte prin metoda Seesaw Arhivat 28 aprilie 2011 la Wayback Machine ”
↑ E. Slkuni „ Pătrate magice pandiagonale netradiționale de ordinul 6 Arhivat 2 noiembrie 2007 la Wayback Machine ”
↑
N. Makarova
- „ Pătrate magice neconvenționale arhivate pe 19 februarie 2008 la Wayback Machine ”
- „ O metodă pentru construirea de pătrate perfecte netradiționale de ordin n=4k+2 Arhivat 28 aprilie 2011 la Wayback Machine ” .
↑ G. Alexandrov „ Pătrat magic ideal non-tradițional de ordin n = 4k + 2 Arhivat 20 noiembrie 2012 la Wayback Machine
↑ G. Aleksandrov „ Pătrate magice aproape pandiagonale de ordin 4k + 2 Copie de arhivă din 20 noiembrie 2012 la Wayback Machine ”
↑ G. Alexandrov „ Un pătrat magic perfect perfect de ordine egală Arhivată din 20 noiembrie 2012 la Wayback Machine
↑ http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf (link inaccesibil)

Literatură

Da. V. Uspenski. Divertismente matematice selectate. - Semănător, 1924.
B. A. Kordemsky. Inteligența matematică . - M. : GIFML, 1958. - 576 p.
M. M. Postnikov. Pătrate magice. - M .: Nauka, 1964.
N. M. Rudin. De la pătrat magic la șah. - M .: Cultură fizică și sport, 1969.
E. Ia Gurevici. Secretul talismanului antic. - M .: Nauka, 1969.
M. Gardner. Timp liber matematic. — M .: Mir, 1972.
Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie, 1989. - 352 p. — ISBN 5-7155-0218-7 .
Yu. V. Cebrakov . Pătrate magice. Teoria numerelor, algebră, analiză combinatorie. - Sankt Petersburg. : statul Sankt Petersburg. tehnologie. un-t, 1995.
Yu. V. Cebrakov. Teoria Matricilor Magice . - Sankt Petersburg. , 2008.
M. Gardner. Capitolul 17. Pătrate și cuburi magice // Călătorie în timp . - M . : Mir, 1990. (link inaccesibil)
Chirkazov D. Literele pătrate magice ca matrice de text simetrice. // Cercetare și inovare științifică modernă. — Nr. 11 noiembrie 2012

Link -uri

Magic Squares (link indisponibil) (engleză)
secvența A164843 în OEIS
M. Gardner „ Recenzia cărții de Kathleen Ollerenshaw și David Brie ”
H. Heinz Pătrate magice, stele magice și alte modele
N. Skryabina, V. Dubovskoy Pătrate magice
Abordarea șahului
Pătrate magice netradiționale din numere prime
Cele mai mici pătrate magice ale numerelor prime
« Formule generale ale pătratelor magice. »
Pătrate magice // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Dicționare și enciclopedii

mare danez
mare chinezesc
Rusă mare
Marele Soviet (1 ed.)
Brockhaus și Efron
Brockhaus și Efron
in jurul lumii
Micul Brockhaus și Efron
Britannica (online)

În cataloagele bibliografice
BNF : 11944380z GND : 4168511-8 J9U : 987007543406305171 LCCN : sh85079628 NDL : 01081048 NKC : ph214645 SUDOC : 027391345