Hidrodinamica magnetică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 iulie 2020; verificările necesită 3 modificări .

Magnetohidrodinamica este o disciplină fizică care a apărut la intersecția hidrodinamicii și electrodinamicii continuu . Subiectul studiului ei este dinamica unui fluid sau gaz conducător într-un câmp magnetic . Exemple de medii studiate sunt diverse tipuri de plasmă , metale lichide , apă sărată.

Hannes Alfven , care a primit Premiul Nobel în 1970 pentru munca sa, este recunoscut ca un pionier în cercetarea în domeniul teoriei magnetohidrodinamicii . Prima lucrare experimentală în acest domeniu a fost studiul lui Hartmann în 1937 al rezistenței la curgerea mercurului într-un tub sub influența unui câmp magnetic transversal.

Ecuații de magnetohidrodinamică

Sistemul complet de ecuații de magnetohidrodinamică nerelatistică a unui fluid conductor are forma:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v)}=0\\\displaystyle {\frac {\ parțial {\vec {H))}{\partial t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \ stânga[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {putrezire} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Aici:

$p$ este presiunea din mediu;
$\rho$ este densitatea mediului;
$\sigma$ — conductivitatea mediului;
$\eta$ este vâscozitatea la forfecare a mediului;
$\zeta$ este vâscozitatea în vrac a mediului;
${\vec {v}}$ este câmpul de viteză;
${\vec {H}}$ este puterea câmpului magnetic .

Acest sistem conține 8 ecuații și vă permite să determinați 8 necunoscute ( , , , ) pentru condițiile inițiale și la limită date. $p$ $\rho$ ${\vec {H}}$ ${\vec {v}}$

Dacă folosim următoarele aproximări ( limită nedisipativă ):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

atunci sistemul de ecuații MHD poate fi scris într-o formă mai simplă:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho {\vec {v)}=0\\\displaystyle {\frac {\ parțial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {putrezire} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Derivarea ecuațiilor

Derivarea ecuațiilor MHD din ecuațiile Maxwell și hidrodinamice

Să scriem sistemul de ecuații lui Maxwell în sistemul CGS :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ t parțial}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} +{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\end{cazuri}}

Vom pleca de la următoarele ipoteze:

permeabilitatea magnetică este egală cu unu: $\mu=1;$
fara sarcini electrice $\rho =0;$
Legea lui Ohm are forma: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma {c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Ne restrângem la cazul nerelativist ( ), adică $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|.$

Justificarea aproximării nerelativiste.

Să arătăm că este echivalent $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\partial {\vec E)){\partial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec H}}{\partial t^{2}}}\right |

Să evaluăm această expresie:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

Unde:

$L$ este lungimea caracteristică;
$\tau$ este un timp caracteristic.

Acest lucru ne duce la următoarea relație:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

Adică, viteza caracteristică în sistem trebuie să fie mult mai mică decât viteza luminii.

Ecuațiile lui Maxwell în această aproximare vor fi scrise după cum urmează:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ t parțial}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Exprimând din legea lui Ohm și substituind-o în prima ecuație, obținem: ${\vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Înlocuind curentul din a doua ecuație a lui Maxwell în această ecuație, obținem:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\ori {\vec {H}}\right].

În limita unui fluid conducător ideal , obținem: $\sigma \to \infty$

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

Pentru a se conecta cu hidrodinamica , la ecuația Navier-Stokes se adaugă un termen care este responsabil pentru forța Ampère care acționează asupra curenților din câmpul magnetic (curentul este exprimat din a doua ecuație Maxwell prin puterea câmpului magnetic):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Aplicații

Principiile magnetohidrodinamicii sunt utilizate pentru monitorizarea și controlul de la distanță al comportării metalelor lichide în industrie, în special:

în pompe MHD ;
în generatoare MHD .

Vezi și

Literatură

V. Denisov «Introducere în electrodinamica mediilor materiale: manual». - M .: Editura din Moscova. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodinamica mediilor continue. - Ediția a IV-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 p. - („Fizica teoretică”, Volumul VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Prelegeri Kotelnikov IA despre fizica plasmei. Volumul 2: Magnetohidrodinamică. - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : Lan , 2021. - 446 p. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Link -uri

Hidrodinamica magnetică în enciclopedia „Krugosvet”.
Site-ul revistei Institutului de Fizică al Universității din Letonia „Magnetohydrodynamics” (fostul jurnal „Magnetic hydrodynamics”) .

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX524551 BNF : 11958825c GND : 4130803-7 J9U : 987007543557805171 LCCN : sh85079784 LNB : 000053294 NKC : ph122552

Secțiuni de electrodinamică
Electrostatică și electrodinamică Magnetostatică și Magnetodinamică Electrodinamică relativistă electrodinamică cuantică
Electrodinamica mediilor continue	Magnetohidrodinamica Electrohidrodinamica