Majoranta

Majorant (din franceză majorer - a ridica) este un termen care este folosit în matematică pentru a se referi la mai multe concepte care generalizează conceptul de supremum sau limită superioară exactă . Este folosit cel mai adesea pentru a demonstra convergența integralelor și a seriilor.

Maiorant al unui set ordonat

Conceptul de majorant al unei mulțimi ordonate este introdus pentru a defini supremamul unei mulțimi. Fie M o submulțime a unei mulțimi ordonate. Atunci majoranta multimii M este un element nu mai mic decat orice element al lui M. Suprema multimii M este minimul tuturor majorantelor multimii M. [1]

Majorantul funcției

Majorantul unei funcții este o funcție ale cărei valori nu sunt mai mici decât valorile corespunzătoare ale funcției date pe intervalul considerat al variabilei independente. Integrabilitatea majorantei unei secvențe de funcții integrabile este o condiție suficientă pentru existența unei integrale a limitei șirului. [2]

Exemplu

Fie funcțiile integrabile , au o limită și există o majorantă integrabilă Atunci putem trece la limita sub semnul integral: [3] $f_{n}(x),n=1,2,...$ $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ $g(x)\geq |f_{n}(x)|,n=1,2,...$

\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{n}(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{ +\infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx

Seria Majorant

Majoranta unei serii este o serie numerică a cărei toți membrii, pornind de la un anumit număr, nu sunt mai mici decât valoarea absolută a membrilor corespunzători acestei serii. Dacă seria inițială depinde de argument, de exemplu, este o putere sau trigonometrică , atunci indicați intervalul în care este satisfăcută inegalitatea. Pentru a construi majoranții seriei matriceale, se folosește norma matriceală .

Ca majoranți, se folosesc de obicei serii simple bine convergente - progresie geometrică unidimensională și multidimensională și serii cu un factorial în numitorul termenilor. Convergența majorantei implică convergența seriei originale. Pentru seriile care sunt funcții, construcția majoranților este instrumentul principal pentru demonstrarea convergenței.

Exemple sunt dovezi ale teoremei serii de numere a lui Hadamard , lema lui Abel pentru serii de mai multe variabile complexe și o dovadă a convergenței punctuale a unei serii trigonometrice. [4] [5]

Clasa majorant

Conceptul de majorant poate fi introdus pe orice mulțime dacă pe acesta este dată o funcție numerică. Majorantul unei clase sau submulțimi este un element a cărui valoare a funcției pe care se află supremația valorilor funcției din această clasă sau submulțime. Definiții similare sunt introduse pentru a simplifica prezentarea. [6]

Note

↑ Seturi delimitate. Majoranți și minori. . Preluat la 3 iunie 2019. Arhivat din original la 3 iunie 2019. (nedefinit)
↑ Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: „Bufnițe. enciclopedie " , 1988. - S. 847 .
↑ MAJORANT ŞI MINORANT . Preluat la 3 iunie 2019. Arhivat din original la 3 iunie 2019. (nedefinit)
↑ Rezumat al prelegerilor de orientare pentru examenul de stat la matematică în direcția „Matematică aplicată și fizică” (Universitatea de Stat din Sankt Petersburg) . Preluat la 3 iunie 2019. Arhivat din original la 3 iunie 2019. (nedefinit)
↑ Analiză cuprinzătoare . Preluat la 3 iunie 2019. Arhivat din original la 23 noiembrie 2018. (nedefinit)
↑ MAJORANTI ŞI MINORANTI AI CLASEI GRAFICILOR CU DIAMETR FIX ŞI NUMĂR DE VERTIXE. T. I. Fedoryaeva . Preluat la 3 iunie 2019. Arhivat din original la 3 iunie 2019. (nedefinit)