Norma matricei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

O normă matriceală este o normă într-un spațiu liniar de matrice, de obicei legată într-un fel de norma vectorială corespunzătoare (consistentă sau subordonată ).

Definiție

Fie K câmpul de bază (de obicei K = R sau K = C ) și spațiul liniar al tuturor matricelor cu m rânduri și n coloane formate din elemente ale lui K . O normă este dată pe spațiul matricelor dacă fiecare matrice este asociată cu un număr real nenegativ , numit normă, astfel încât $K^{{m\ori n}}$ $A\in K^{m\times n}$ $\|A\|$

$\|A\|>0$ , dacă , și , dacă . $A\neq 0$ $\|A\|=0$ $A=0$
$\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\în K^{m\times n)$ .
$\|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \in K,\quad A\in K^{m\times n)$ [1] .

În cazul matricelor pătrate (adică m = n ), matricele pot fi înmulțite fără a părăsi spațiul și, prin urmare, normele din aceste spații satisfac de obicei și proprietatea submultiplicativă :

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ pentru toate matricele A și B în . $K^{{n\ori n}}$

Submultiplicativitatea poate fi efectuată și pentru normele matricelor nepătrate, dar definite pentru mai multe dimensiuni necesare simultan. Și anume, dacă A este o matrice ℓ × m și B este o matrice m × n , atunci A B este o matrice ℓ × n .

Norme operator

O clasă importantă de norme matriceale sunt normele operator , numite și norme subordonate sau induse . Norma operatorului este construită în mod unic din două norme definite în și , pe baza faptului că orice matrice m × n este reprezentată de un operator liniar de la la . Specific, $K^n$ $K^{m}$ $K^n$ $K^{m}$

{\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\în K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\ sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\în K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

[2]

Sub condiția unei specificații consistente a normelor pe spațiile vectorilor, o astfel de normă este submultiplicativă (vezi mai sus ).

Exemple de norme pentru operatori

Norma matriceală subordonată normei vectoriale . $\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$
Norma matriceală subordonată normei vectoriale . $\|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
Norma spectrală supusă normei vectoriale . $\|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Ax\|_{2}=\sup \limits _{(x, x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)))$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))))$

Proprietățile normei spectrale:

Norma spectrală a unui operator este egală cu valoarea maximă singulară a acestui operator.
Norma spectrală a unui operator normal este egală cu valoarea absolută a valorii proprii modulo maxime a acestui operator.
Norma spectrală nu se schimbă atunci când o matrice este înmulțită cu o matrice ortogonală ( unitară ).

Norme de matrice non-operator

Există norme matrice care nu sunt norme de operator. Conceptul de norme non-operatoare ale matricelor a fost introdus de Yu. I. Lyubich [3] și studiat de G. R. Belitsky .

Un exemplu de normă non-operator

De exemplu, luați în considerare două norme de operator diferite și , de exemplu, normele de rând și de coloană. Să creăm o nouă normă . Noua normă are proprietatea inel , păstrează identitatea și nu este operator [4] . $\|A\|_{1}$ $\|A\|_{2)$ ${\displaystyle \|A\|=\max {(\|A\|_{1},\|A\|_{2)))))$ $\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|$ $\|I\|=1$

Exemple de norme

Norma L p,q

Fie un vector de coloane matrice. Prin definiție, norma este egală cu suma normelor euclidiene ale coloanelor matricei: $(a_{1},\ldots, a_{n})$ $A.$ $L_{2,1}$

\Vert A\Vert _{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\Vert a_{j}\Vert _{2}=\sum _{j=1}^{ n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}

Norma poate fi generalizată la normă $L_{2,1}$ $L_{p,q},\;p,q\geqslant 1:$

\Vert A\Vert _{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij} |^{p}\dreapta)^{q/p}\dreapta)^{1/q}

Vector -normă

p

Vă puteți gândi la o matrice ca la un vector de dimensiune și puteți utiliza normele vectoriale standard. De exemplu, vectorul p -norma se obține din norma la : $m\ori n$ $mn$ $L_{p,q)$ $p=q$

\|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j =1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}

Această normă diferă de norma p indusă și de norma p a lui Schatten (vezi mai jos), deși se folosește aceeași notație. $\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p)){\|x\|_{p))}$

Norma Frobenius sau norma euclidiană (pentru spațiul euclidian ) este un caz special al normei p pentru p = 2 : . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2 }}}$

Norma Frobenius este ușor de calculat (comparativ, de exemplu, cu norma spectrală). Are următoarele proprietăți:

Consistență : , deoarece datorită inegalității Cauci-Bunyakovsky $\|Ax\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2)$

\|Ax\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{ j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)=\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\ |_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.

Submultiplicativitatea : , din moment ce . $\|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F)$ $\|AB\|_{F}^{2}=\sum _{i,j}\left|\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\ leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left( \sum _{k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\sum _{i,k}|a_{ik}| ^{2}\sum _{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}$
$\|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr)} A^{*}A=\mathop {\rm {tr)} AA^{*}$ , unde este urma matricei , este matricea conjugată hermitiană a . $\mathop {\rm {tr)} A$ $A$ $A^{*}$
$\|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\dots +\rho _{n}^{ 2}$ , unde sunt valorile singulare ale matricei . $\rho _{1},\rho _{2},\dots,\rho _{n)$ $A$
$\|A\|_{F}\geq \|A\|_{2)$ , unde este norma spectrală. $\|\cdot \|_{2)$
$\|A\|_{F)$ nu se modifică atunci când o matrice este înmulțită în stânga sau în dreapta cu matrici ortogonale ( unitare ) [5] . $A$

Modulul maxim

Norma de modul maxim este un alt caz special al normei p pentru p = ∞ .

\|A\|_{{{\text{max}}}}=\max\{|a_{{ij}}|\}.

Norm Shatten

Normele Schatten apar atunci când norma - este aplicată unui vector de valori singulare ale unei matrice. Dacă notăm cu --a valoare singulară a unei matrice de mărime , atunci norma Schatten este definită ca $p$ $\sigma _{i}(A)$ $i$ $A$ $m\ori n$ $p$

\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\ dreapta)^{1/p}.

Normele Schatten sunt notate în același mod ca și normele induse și vectoriale , dar nu coincid cu acestea. $p$

Pentru orice , norma Schatten este submultiplicativă și unitar invariantă, adică pentru orice matrice și și orice matrice unitară și . $p$ ${\displaystyle ||AB||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p))$ $\|A\|_{p}=\|UAV\|_{p)$ $A$ $B$ $U$ $V$

La , norma Schatten coincide cu norma Frobenius, la , cu norma spectrală, iar la , cu norma nucleară (cunoscută și ca norma de urme și norma Ki Fan ), care este definită ca $p=2$ $p=\infty$ $p=1$

\|A\|_{1}=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\))\sigma _{i}(A)={\mbox{tr)} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right).

Norma nucleului este carcasa convexă a funcției de rang pe setul de matrici cu normă spectrală unitară, deci este adesea folosită în probleme de optimizare pentru a găsi matrici de rang scăzut [6] .

Consecvența dintre normele matrice și vectoriale

Norma matricei on se numește consecventă cu normele on și on dacă: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\ori n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

pentru orice . Prin construcție, norma operatorului este în concordanță cu norma vectorială originală. $A\în K^{{m\ori n}},x\în K^{n}$

Exemple de norme matrice consistente, dar nu subordonate:

Norma euclidiană este în concordanță cu norma vectorială [5] . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}^{2)} }$ $\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2)))$
Norma este în concordanță cu norma vectorială [7] . $\|A\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Echivalența normelor

Toate normele din spațiu sunt echivalente, adică pentru oricare două norme și și pentru orice matrice, inegalitatea dublă este adevărată: $K^{{m\ori n}}$ ${\displaystyle \|.\|_{\alpha ))$ ${\displaystyle \|.\|_{\beta ))$ $A\in K^{m\times n}$

C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },

unde constantele și nu depind de matrice . $C_{1}$ $C_{2}$ $A$

Pentru că următoarele inegalități sunt adevărate: $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

$\|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n))\|A\|_{2)$ ,
$\|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}$ ,
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A \|_{\infty ))$ ,
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\ |_{1}$ ,

unde , și sunt norme operator [8] . $\|A\|_{1}$ $\|A\|_{2)$ ${\displaystyle \|A\|_{\infty ))$

Aplicație

Normele matriceale sunt adesea folosite în analiza metodelor de calcul algebrei liniare . De exemplu, un program pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare poate da un rezultat inexact dacă matricea coeficienților este prost condiționată („aproape degenerată ”). Pentru a caracteriza cantitativ apropierea de degenerescență, trebuie să se poată măsura distanța în spațiul matricelor. Această posibilitate este oferită de normele matriceale [9] .

Vezi și

Note

↑ Gantmakher, 1988 , p. 410.
↑ Prasolov, 1996 , p. 210.
↑ Lyubich Yu. I. Despre normele operatorilor de matrice // Uspekhi Mat . - 1963. - N. 18. Problema. 4(112) - S. 161-164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
↑ Belitsky, 1984 , p. 99.
↑ 1 2 Ilyin, Kim, 1998 , p. 311.
↑ Fazel, M. , Hindi, H. , Boyd, S. P. O euristică de minimizare a rangului cu aplicare la aproximarea sistemului de comandă minimă // Proceedings of the 2001 American Control Conference. - 2001. - Vol. 6 . - P. 4734-4739 . - doi : 10.1109/ACC.2001.945730 .
↑ Bellman, 1969 , p. 196.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , p. 63.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , p. 61.

Literatură

Ilyin V. A. , Kim G. D. Algebră liniară și geometrie analitică. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1998. - 320 p. — ISBN 5-211-03814-2 .
Gantmakher F. R. Teoria matricei. — M .: Nauka, 1988.
Bellman R. Introducere în teoria matricelor. - M .: Nauka, 1969.
Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .
Golub J., Van Lone Ch . Calcule matrice: Per. din engleză.- M . : Mir, 1999. - 548 p. — ISBN 5-03-002406-9 .
Belitsky G. R. , Lyubich Yu. I. Normele matriceale și aplicațiile lor. - Kiev: Naukova Dumka, 1984. - 160 p.

Link -uri

exponenta.ru. Portal educațional matematic . Data accesului: 15 noiembrie 2016. (nedefinit)
Lumea matematicii. Norma matricei . Preluat: 3 decembrie 2016. (nedefinit)