Mediană (matematică)

Mediana a două fracții și cu numitori pozitivi este o fracție al cărei numărător este egal cu suma numărătorilor, iar numitorul este suma numitorilor celor două fracții date: ${\frac {a}{b)}$ ${\frac {c}{d)}$

{\frac {a+c}{b+d)).

Proprietăți

Mediana a două fracții este între ele, adică

daca , atunci .

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}

Dovada Această proprietate este o consecință a relațiilor

{\frac {a+c}{b+d}}-{\frac {a}{b}}={{bc-ad} \over {b(b+d)))={d \ peste {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0

și

{\frac {c}{d}}-{\frac {a+c}{b+d}}={{bc-ad} \over {d(b+d)))={b \ peste {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0.

Dacă notați 2 fracții și apoi de mai multe ori între fiecare 2 fracții învecinate mediantul lor, obțineți o serie Farey .

Istorie

Conceptul de mediană a două fracții a fost introdus de A.Ya.Khinchin [1] în teoria fracțiilor continue cu scopul de a înțelege mai bine aranjarea reciprocă și legea formării succesive a fracțiilor intermediare. Totuși, în teoria fracțiilor continue, pentru studiul fracțiilor intermediare, termenul „mediant” nu a prins rădăcini [2] . În alte științe matematice, de exemplu, în analiza matematică [3] și în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare [4] , proprietățile medianei a n rapoarte ale numerelor reale au fost folosite pentru a demonstra anumite afirmații, deși definiția conceptului de mediană nu a fost dat. Indirect, cea mai răspândită utilizare a medianei n rapoarte ale numerelor reale se găsește în matematica aplicată, în special în statistica matematică. [5] [6] [7] Dar nici definiția medianei în aceste lucrări nu a fost dată. Maurice Kline [8] a „redescoperit” în esență mediantul propunând „aritmetica de fotbal” a adunării fracțiilor. Această adăugare a fost folosită de M. Kline pentru a determina performanța medie a unui jucător de fotbal atacant în două jocuri. El a luat în considerare și cazuri de determinare a eficienței comerțului și a vitezei medii a unei mașini pe baza vitezelor pe două tronsoane ale căii.

În prezent, mediana este utilizată în demografie [9] și biologie [10] .

Exemple de utilizare

Literatură și note

↑ Khinchin A.Ya. Lovituri în lanț. – M.: Fizmatlit, 1961. 112 p.
↑ Leng S. Introducere în teoria aproximărilor diofantine. – M.: Mir, 1970. – 104 p.
↑ Fikhtengolts G.M. Curs de calcul diferențial și integral. T.1. - M.-L.: Gostekhlit, 1947. - 680 p.
↑ Stepanov V.V. Cursul ecuațiilor diferențiale. - M.: Fizmatlit, 1959. - 468 p.
↑ Salton G.A. Procesarea, stocarea și preluarea automată a informațiilor. – M.: Sov. radio, 1973. - 560 p.
↑ Schwartz G. Metoda selectivă. Ghid pentru aplicarea metodelor statistice de estimare. – M.: Statistică, 1978. – 213 p.
↑ Crane M., Lemoine O. Introduction to the regenerative method of model analysis. – M.: Nauka, 1982. – 104 p.
↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii. – M.: Mir, 1984. – 434 p.
↑ Semkin B.I., Soboleva T.A. Evaluarea ratei de schimbare a populației totale a orașelor Primorsky Krai // Geografie și resurse naturale. nr. 4. 2005. S. 118-123.
↑ Semkin B.I., Gorshkov M.V., Varchenko L.I. Despre modificările conținutului de apă în lăstarii anuali de conifere lemnoase din zona climatică temperată // ecol siberian. revistă 2008. Nr. 4. T. 15. S. 537–544.