Metoda de epuizare

Metoda epuizării ( lat.  methodus exhaustionis ) este o metodă matematică antică concepută pentru a studia ariile figurilor geometrice curbilinii sau volumele corpurilor geometrice . Ideea metodei, în termeni nu foarte clari, a fost exprimată de Antiphon , cu toate acestea, dezvoltarea și aplicarea a fost realizată de Eudoxus din Cnidus .

Denumirea „metoda de epuizare” a fost propusă în 1647 de Grégoire de Saint-Vincent , în antichitate metoda nu avea un nume special. Rațiunea acestei metode nu se bazează pe conceptul de infinitezimale , ci include implicit conceptul de limită . Rafinarea metodei de epuizare a condus ulterior la calculul integral .

Descrierea metodei

Metoda a fost următoarea: pentru a găsi aria (sau volumul) unei anumite figuri, în această figură a fost înscrisă o succesiune monotonă de alte figuri și s-a dovedit că ariile (volumele) acestora se apropie la infinit de aria (volumul) dorită. figura. Apoi s-a calculat limita succesiunii de arii (volume), pentru care s-a înaintat o ipoteză că este egală cu oarecare A și s-a demonstrat că opusul duce la o contradicție [1] . Întrucât nu exista o teorie generală a limitelor (grecii evitau conceptul de infinit), toți acești pași, inclusiv justificarea unicității limitei, s-au repetat pentru fiecare problemă.

În această formă, metoda epuizării se potrivește bine în construcția strict deductivă a matematicii antice, dar avea câteva dezavantaje semnificative. În primul rând, era excepțional de voluminos. În al doilea rând, nu exista o metodă generală de calcul a valorii limită a lui A; Arhimede , de exemplu, l-a dedus adesea din considerente mecanice sau pur și simplu a ghicit intuitiv. În cele din urmă, această metodă nu este potrivită pentru găsirea ariilor unor figuri infinite.

Motivație

Baza teoretică a metodei de epuizare a lui Eudoxus este expusă în Cartea X a Elementelor lui Euclid . Acolo se formulează lema principală [2] :

Propunerea 1. Pentru două valori date inegale, dacă din cea mai mare se scade mai mult de jumătate și din restul mai mult de jumătate, iar acest lucru se face constant, atunci va rămâne o valoare care va fi mai mică decât valoarea mai mică dată.

Aceasta este una dintre puținele teoreme ale teoriei generale a limitelor date de autorii antici. În secolul al X-lea, Thabit ibn Qurra a propus o generalizare a acestei leme, înlocuind „jumătate” cu „orice parte”.

Folosind metoda epuizării, Eudoxus a dovedit riguros o serie de descoperiri deja cunoscute în acei ani (aria unui cerc , volumul unei piramide și al unui con ). Euclid , în Elementele sale, a folosit metoda epuizării pentru a demonstra cele șase teoreme din Cartea 12:

Aplicație

Cea mai fructuoasă metodă de epuizare a ajuns în mâinile adeptului remarcabil al lui Eudox, Arhimede , care a reușit să o îmbunătățească semnificativ și să o aplice cu pricepere la multe descoperiri noi. În special, a găsit următoarele:

În Evul Mediu, matematicienii europeni au folosit și metoda epuizării, până când aceasta a fost înlocuită mai întâi de metoda mai puternică și mai tehnologică a indivizibililor , iar apoi de calcul .

Vezi și

Literatură

Note

  1. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 333-335.
  2. ↑ Începuturile lui Euclid / Traducere din greacă și comentarii de D. D. Mordukhai-Boltovsky cu participarea editorială a lui M. Ya. Vygodsky și I. N. Veselovsky. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. II. - S. 102.  (link inaccesibil)
  3. ↑ Teorema bilei și cilindrului lui Arhimede . Preluat la 3 iulie 2019. Arhivat din original la 26 iunie 2019.
  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii