Metoda variabilei lente a amplitudinii

Metoda amplitudinilor care variază lentă ( MMMA , uneori metoda Van der Pol ) [1] este utilizată pentru rezolvarea aproximativă a ecuațiilor neliniare care sunt apropiate de liniară, iar oscilațiile sunt apropiate de armonice [2] . Metoda se bazează pe presupunerea că amplitudinea (învelișul) undei se modifică lent în timp și spațiu în comparație cu perioada undei.

Metoda este folosită, de exemplu, în radiofizică [3] , optică neliniară [4] [5] [6] .

Exemplu

Luați în considerare ecuația undelor electromagnetice :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2)}}= 0,

unde k 0 și ω 0 sunt vectorul de undă și frecvența unghiulară a undei E ( r , t ) și utilizați următoarea reprezentare:

E(\mathbf {r},t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r},t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],

unde denotă partea reală. $\scriptstyle \Re [\cdot ]$

În aproximarea amplitudinii care variază lent, se presupune că amplitudinea complexă E 0 ( r , t ) variază lent cu r și t . De asemenea, presupune că E 0 ( r , t ) reprezintă o undă care se propagă înainte în direcția k 0 . Ca urmare a modificării lente a E 0 ( r , t ), derivatele de ordin înalt pot fi neglijate: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

și ,

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

După aplicarea aproximării și reducția la zero a derivatelor superioare, ecuația de undă se va scrie astfel:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Ținând cont de faptul că k 0 și ω 0 satisfac relația de dispersie :

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

primim:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ parțial E_{0}}{\partial t}}=0.

Aceasta este o ecuație hiperbolică , ca și ecuația de undă inițială, dar acum de ordinul întâi și nu al doilea. Este adevărat pentru undele coerente care se propagă în direcții apropiate de k 0 . Adesea, o astfel de ecuație este mult mai ușor de rezolvat decât cea originală.

Aproximare parabolică

Se consideră propagarea de-a lungul direcției z , adică k 0 || z .Atunci metoda se aplică numai derivatelor în raport cu coordonata z şi în raport cu timpul. Dacă este operatorul Laplace în planul x - y , obținem ca rezultat: $\scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial ^{2}$

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Aceasta este o ecuație parabolică , deci aproximarea se mai numește și aproximare parabolică [8] .

Vezi și

Link -uri

↑ Balth. van der Pol Jun. D. Sc. (1927) VII. Oscilații forțate într-un circuit cu rezistență neliniară. (Recepție cu triodă reactivă), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
↑ Papaleksi N D, Andronov A A, Gorelik G S, Rytov S M „Unele cercetări în domeniul oscilațiilor neliniare efectuate în URSS din 1935” 33 335-352 (1947)
↑ Andreev V.S. Teoria circuitelor electrice neliniare: Manual pentru universități. - M .: Radio și comunicare, 1982. - 280 p.
↑ Arecchi, F.T. & Bonifacio, R. IEEE J. Quantum Electron. 1, 169-178 (1965).
↑ Sizmin D.V. „Optica neliniară”, Sarov: SarFTI, 2015. - 147 p.
↑ RW Boyd (2008). Optică neliniară (ed. a treia). Orlando: Academic Press.
↑ Butcher, Paul N. The elements of nonlinear optics / Paul N. Butcher, David Cotter. — Retipărire. - Cambridge University Press , 1991. - P. 216. - ISBN 0-521-42424-0 .
↑ Svelto, Orazio. Autofocalizarea, auto-capcana și modularea în fază automată a fasciculelor laser // Progresul în optică . - Olanda de Nord , 1974. - Vol. 12. - P. 23-25. - ISBN 0-444-10571-9 .