Metoda de conversie inversă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 17 aprilie 2019; verificările necesită 4 modificări .

Metoda transformării inverse ( transformarea lui N. V. Smirnov ) este o metodă de generare a variabilelor aleatoare cu o funcție de distribuție dată prin modificarea funcționării unui generator de numere distribuite uniform.

Descrierea algoritmului

Fie o funcție de distribuție arbitrară . Să arătăm cum, având un generator de eșantion din distribuția uniformă continuă standard , se obține un eșantion din distribuția dată de funcția de distribuție . $F(x)$ $F(x)$

Creșterea strictă a funcției de distribuție

Dacă o funcție este strict crescătoare pe întregul domeniu al definiției , atunci este bijectivă și, prin urmare, are o funcție inversă . $F:\mathbb {R} \la [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Fie o probă dintr-o distribuție uniformă continuă standard. $U_{1},\ldots, U_{n}\sim U[0,1]$
Apoi , unde , este un eșantion din distribuția de interes pentru noi. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Exemplu

Să fie necesar să se genereze un eșantion din distribuția exponențială cu parametrul . Funcția acestei distribuții este strict crescătoare, iar funcția ei inversă are forma . Astfel, dacă este un eșantion dintr-o distribuție uniformă continuă standard, atunci , unde $\lambda>0$ $F(x)=1-e^{-\lambda x)$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots ,U_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots,n

este eșantionul dorit din distribuția exponențială.

Funcție de distribuție nedescrescătoare

Dacă o funcție pur și simplu nu scade, atunci este posibil ca funcția ei inversă să nu existe. În acest caz, este necesar să modificați algoritmul de mai sus . $F:\mathbb {R} \la [0,1]$

Fie o probă dintr-o distribuție uniformă continuă standard. $U_{1},\ldots, U_{n}\sim U[0,1]$
Apoi , unde , este un eșantion din distribuția de interes pentru noi. Faptul că limita inferioară exactă este egală cu minimul este satisfăcut datorită continuității funcției de distribuție din dreapta, ceea ce înseamnă că limita inferioară exactă este atinsă. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\ldots ,n$

Note

Dacă crește strict, atunci . Astfel, algoritmul modificat pentru o funcție de distribuție arbitrară include un caz analizat separat al unei funcții de distribuție strict crescătoare. $F(x)$ $F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\)$
În ciuda universalității aparente, acest algoritm are limitări practice serioase. Chiar dacă funcția de distribuție este strict crescătoare, nu este întotdeauna ușor de calculat inversul ei, mai ales dacă nu este dată ca funcție elementară , ca, de exemplu, în cazul unei distribuții normale . În cazul unei funcții de distribuție generală, cel mai adesea este necesar să se găsească numeric limita inferioară exactă , ceea ce poate consuma foarte mult timp.

Justificare matematică

Să , adică . Luați în considerare funcția de distribuție a unei variabile aleatoare . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]$ $X=\inf\{x\mid F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

Adică are o funcție de distribuție . $X$ $F(x)$

Vezi și

Literatură

Vadzinsky R.N. Manual de distribuții de probabilitate. - Sankt Petersburg: Nauka, 2001, 295 p.