Metrica Waserstein

Metrica Vaserstein este o metrică naturală a spațiului de măsurători de probabilitate într-un spațiu metric .

Intuitiv, dacă fiecare măsură măsoară distribuția „solului” pe spațiul metric M , atunci distanța Waserstein măsoară costul minim al transformării unei distribuții a solului în alta, în cel mai simplu caz, se presupune că costul este direct proporțional cu cantitatea de sol și distanța pe care trebuie să fie târât.

Numele „Vaserstein metric” a fost propus de Dobrushin în 1970, în onoarea lui Leonid Vaserstein ( născut Leonid Vaseršteĭn ), care l-a considerat în 1969.

Definiție

Fie ( M , d ) un spațiu metric pentru care fiecare măsură de probabilitate de pe M este o măsură Radon .

Pentru p ≥ 1, fie P p ( M ) să desemneze mulțimea tuturor măsurilor de probabilitate μ pe M cu p - al- lea moment finit : adică pentru un anumit (și, prin urmare, pentru orice) punct x 0 din M , avem

\int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .

Apoi p -a -a metrică Vaserstein W p ( μ , ν ) între două măsuri de probabilitate μ și ν în P p ( M ) este definită ca

W_{p}(\mu,\nu):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu,\nu)}\int _{M\times M}d(x, y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},

unde Γ( μ , ν ) denotă setul tuturor măsurilor peste M × M cu distribuții marginale (parțiale) μ și ν pentru primul și, respectiv, al doilea parametru. (Mulțimea măsurilor Γ( μ , ν ) se mai numește și mulțimea tuturor perechilor lui μ cu ν .)

Proprietăți

Convergența în această metrică este echivalentă cu convergența slabă a măsurilor plus convergența primului p - al- lea moment. $W_{p}$

Definiția duală a lui W 1 este un caz particular al teoremei dualității Kantorovich - Rubinshtein (1958): dacă μ și ν au suport mărginit , atunci $W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right \},$

unde supremul este preluat toate funcţiile 1 - Lipschitz f .

Pentru orice p ≥ 1, un spațiu metric ( P p ( M ), W p ) este separabil și complet dacă ( M , d ) este separabil și complet [1] .

Vezi și

Sarcina de transport

Note

↑ Bogaciov, VI; Kolesnikov, AV Problema Monge-Kantorovich: realizări, conexiuni și perspective // Progrese în științe matematice . - RAS . — Vol. 67 . - P. 785-890 . - doi : 10.1070/RM2012v067n05ABEH004808 .

Literatură

Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix . Formularea variațională a ecuației Fokker-Planck // SIAM J. Math. Anal. : jurnal. - 1998. - Vol. 29 , nr. 1 . - P. 1-17 (electronic) . — ISSN 0036-1410 . - doi : 10.1137/S0036141096303359 .
Rüschendorf, L. (2001), „Wasserstein metric” , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4