Polinomul Erard

Polinomul Herard pentru un poliedru dat dintr-un spațiu multidimensional este un polinom a cărui valoare în orice punct întreg coincide cu numărul de puncte întregi din spațiu (în general, puncte ale oricărei rețele ) situate în interiorul poliedrului dat, crescut cu un factor de . $t>0$ $t$

Volumul poliedrului însuși (cu coeficientul de omotezie ) este egal cu coeficientul de conducere al polinomului Erard, care poate fi considerat ca o variantă a generalizării multidimensionale a teoremei lui Pick . $k=1$

Numit după Eugène Herard , care le-a studiat în anii 1960.

Definiție

Fie un poliedru cu vârfuri întregi și omotezie cu coeficientul întreg . Se notează cu numărul de puncte întregi în . Se poate demonstra că un număr este exprimat ca polinom în ; acest polinom se numește polinomul Erard . $P$ $t\cdot P$ $t$ $L_{P}(t)$ $t\cdot P$ $L_{P}(t)$ $t$

Exemple

$L_{Q}(t)=(t+1)^{d)$ pentru un singur cub cu dimensiuni întregi . $d$ $Q$

Proprietăți

(Reciprocité Erard-McDonald) Numărul de puncte întregi din interior este egal cu $t\cdot P$ $(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

unde d este dimensiunea lui P .

Orice evaluare a politopilor întregi care este invariantă sub deplasări întregi și este exprimată ca o combinație liniară a coeficienților polinomului Herard. [unu] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Pentru orice politop dimensional , cei trei coeficienți ai polinomului Herard au o interpretare simplă $d$ $P$
- termenul liber al polinomului Erard este 1.
- Coeficientul principal la este egal cu volumul poliedrului. $t^{d}$
- Coeficientul la este egal cu jumătate din suma rapoartelor ariilor fețelor la determinantul rețelei obținut prin intersecția punctelor întregi cu continuarea feței. $t^{d-1}$
În special, pentru , polinomul Erard al poligonului este egal cu $d=2$ $S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$

unde este aria poligonului și este numărul de puncte întregi de pe granița acestuia. Înlocuind , obținem formula Peak .

S

\Gamma

t=1

Note

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematică. 358, 202-208.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
G. A. Merzon. Algebră, geometrie și analiza sumelor puterilor numerelor succesive // Colecția „ Educația matematică ”. A treia serie. - 2017. - Emisiune. 21. - S. 104-118.