Evaluare

Evaluarea este o generalizare a conceptului de măsură , definită de obicei pe mulțimi convexe ale spațiului euclidian .

Definiție

Fie clasa tuturor multimilor convexe compacte nevide din . O evaluare pe este o funcție astfel încât egalitatea $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

este valabil pentru orice astfel de care , $S,T\in K^{n)$ $S\cup T\in K^{n}$

Note

Se spune că o evaluare este continuă dacă este continuă în raport cu metrica Hausdorff .
Se spune că o evaluare este invariantă în mișcare dacă pentru orice mișcare φ și orice mișcare $S\în K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Exemple

Măsura transversală medie

$k$ -a măsură transversală medie a unui corp este definită ca aria dimensională medie a proiecțiilor pe planuri dimensionale. $W_{k}(S)$ $S\în K^{n}$ $k$ $S$ $k$

În special,

$W_{n}(S)$ - volum , $S$
$W_{n-1}(S)$ este proporțională cu suprafața . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Evaluarea Dirac

Evaluarea Dirac a unui punct este definită ca $\delta _{x)$ $X$

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{if}}~x\notin U\\1&{\text{if}}~x\in U\end{ cazuri}}

Proprietăți

Teorema lui Hadwiger : Orice evaluare continuă care este invariantă la mișcări poate fi reprezentată ca o combinație liniară de măsuri încrucișate.
Orice evaluare a politopilor întregi care este invariantă la deplasări întregi și este exprimată ca o combinație liniară a coeficienților polinomului Earhart . [unu] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Literatură

Semyon Alesker Introducere în teoria evaluărilor pe mulțimi convexe Înregistrări video ale prelegerilor, Școala de vară de matematică „Algebră și geometrie” 25—31 iulie 2014 Yaroslavl

Note

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematică. 358, 202-208.