Polinoame Kravchuk

polinoame Kravchuk
informatii generale
Formulă	${\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_ {2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$
Produs scalar	$(f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)$ .
Domeniu	$x\in {1,2,...N}$
caracteristici suplimentare
Numit după	Kravciuk, Mihail Filippovici

Polinoamele lui Kravchuk ( M. F. Kravchuk , 1929 ) sunt polinoame ortogonale clasice ale unei variabile discrete pe o grilă uniformă, pentru care relația de ortogonalitate nu este o integrală , ci o serie sau o sumă finită: . $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_ {n}^{2},\delta _{m,n}$

Aici este funcția de greutate, este norma pătratică, . Pentru , funcția de greutate, până la un factor constant, se reduce la coeficientul binomial . $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{Nx}$ $d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n)))$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $p=q=1\stanga/2\dreapta.$ $1\left/2^{N}\dreapta.$

Relația de recurență pentru aceste polinoame are forma . $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x )={\bigl [}x+n(pq)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$

Prin simple transformări, se poate reduce la formă

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n -1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}( x)}{d_{n}}}$ ,

Unde

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N)}},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN})},\ quad \varepsilon =r(pq),\quad \Delta =-rpN.$

Polinoamele Kravchuk pot fi exprimate în termenii funcției hipergeometrice gaussiene :

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1} (-n,-x;-N;1/p)$

În limita de la , polinoamele Kravchuk trec la polinoamele Hermite : $N\la \infty$

$\lim \limits _{N\to \infty}\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt) {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)$

Primele patru polinoame pentru cel mai simplu caz sunt: $p=q=1/2$

${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2} }-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

Literatură

Sur une generalization des polynomes d'Hermite . M. Krawtchouk. CRAcad. sci. 1929. T.189, Nr.17. P.620 - 622 - articolul în care au fost introduse pentru prima dată polinoamele lui Kravchuk; originalul francez și traducerile în engleză și rusă sunt disponibile la link.
A. F. Nikiforov, S. K. Suslov, V. B. Uvarov. Polinoame ortogonale clasice ale unei variabile discrete. Moscova, „Nauka”, 1985.
Pagina principală a polinoamelor Krawtchouk este un site dedicat polinoamelor Krawtchouk și conține, în special, o bibliografie extinsă.

Vezi și

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi