Polinoame Zernike

Polinoamele Zernike sunt o succesiune de polinoame care sunt ortogonale pe cercul unității . Numit după opticianul laureat al Premiului Nobel și inventatorul microscopului cu contrast de fază Fritz Zernike . Ele joacă un rol important în optică [1] .

Definiții

Există polinoame Zernike pare și impare . Chiar și polinoamele sunt definite ca

Z_{n}^{m}(\rho,\varphi)=R_{n}^{m}(\rho)\,\cos(m\,\varphi)

și altele ciudate ca

Z_{n}^{-m}(\rho,\varphi)=R_{n}^{m}(\rho)\,\sin(m\,\varphi),

unde m și n sunt numere întregi nenegative astfel încât n ≥ m , φ este unghiul azimutal și ρ este distanța radială, . Polinoamele Zernike sunt limitate în intervalul de la -1 la +1, adică. . $0\leq \rho \leq 1$ $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$

Polinoamele radiale sunt definite ca $R_{n}^{m)$

R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{ k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ ,k}

pentru valorile pare ale lui n - m și sunt identic egale cu zero pentru impare n - m .

Alte reprezentari

Prin rescrierea fracției cu factoriali din partea radială ca produs al coeficienților binomi , se poate arăta că coeficienții la puteri sunt numere întregi: $\rho$

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(nm)/2}(-1)^{k}{\binom {nk}{k)} {\binom {n-2k}{{\tfrac {nm}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

Pentru a identifica recurențe, pentru a demonstra faptul că aceste polinoame sunt un caz special de polinoame Jacobi , pentru a scrie ecuații diferențiale etc., se folosește notația sub formă de funcții hipergeometrice :

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2))}\rho ^{n}\ { }_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2)),-{\tfrac {nm}{2));-n;\rho ^{-2}\right )\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {nm}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {nm}{2));1+{\tfrac {n+m}{2)); \rho ^{2}\right)\end{aliniat}}

pentru valorile pare ale lui n - m .

Proprietăți

Ortogonalitate

Ortogonalitatea în partea radială se scrie prin egalitate

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{ n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

Ortogonalitatea în colțul este reprezentată de un set de egalități

\int _{0}^{2\pi}\cos(m\varphi)\cos(m'\varphi)\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi ​​​​\delta _{ |m |,|m'|},

\int _{0}^{2\pi}\sin(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \ delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

\int _{0}^{2\pi}\cos(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi =0,

unde parametrul (numit uneori multiplicatorul Neumann ) este setat la 2 dacă și 1 dacă . Produsul părților unghiulare și radiale stabilește ortogonalitatea funcțiilor Zernike în ambele variabile atunci când se integrează peste cercul unitar: $\varepsilon _{m)$ $m=0$ $m\neq 0$

\int Z_{n}^{m}(\rho,\varphi)Z_{n'}^{m'}(\rho,\varphi)\,d^{2}r={\frac { \varepsilon _{m}\pi ​​​​}{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

unde este jacobianul sistemului de coordonate polare și ambele numere și sunt pare. $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ $nm$ $n'-m'$

Exemple

Polinoame radiale

Mai jos sunt primele câteva polinoame radiale.

R_{0}^{0}(\rho )=1

R_{1}^{1}(\rho )=\rho

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho

R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3)

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}

R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4)

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1

R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2)

R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4)

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.

Vezi și

Note

↑ Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (germană) // Physica I : magazin. - 1934. - Bd. 8 . - S. 689-704 .

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi