Cerc unitar

Cercul unitar este un cerc cu raza 1 pe planul euclidian (de obicei considerat pe planul complex ); zona „ idiomatică ” în analiza complexă .

Definiție

Cercul unitar este o submulțime deschisă a planului complex, dată de inegalitate

|z|<1

sau (care este la fel), .

z{\bar z}<1

În coordonatele reale , inegalitatea arată astfel: $x+iy=z$

x^{2}+y^{2}<1

Cercul este conectat și simplu conectat (de exemplu, datorită convexității ). Limita cercului unitar este cercul unitar .

Cercul unitar este de obicei notat ca sau . $\Delta$ $D$

Automorfisme ale cercului unitar

În ceea ce privește mapările conforme , automorfismele cercului unitar constituie un grup Lie tridimensional , constând din mapări liniar-fracționale de un tip special:

f(z)=e^{{i\varphi }}{\frac {z+b}{1+({\bar b}}z}}),\ |b|<1

Două grade de libertate b sunt oferite de capacitatea de a mapa 0 (centrul) la un punct arbitrar al cercului, iar unul ( ) este oferit de rotații . $\varphi$

Din punctul de vedere al geometriei euclidiene, desigur, în afară de rotații, cercul nu are automorfisme ( mișcări ).

Modelul Poincaré

Se dovedește că automorfismele conforme ale cercului pot fi considerate și metrice, dar dacă luăm în considerare o metrică specială (non-euclidiană) pe cerc , metrica Poincaré :

ds^{2}=4{\frac {dz\,d({\bar z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}=4{\frac {dx^{ 2}+dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.

Cercul se dovedește astfel a fi un model al planului Lobaciovski .

Cerc sau semiplan?

Din punctul de vedere al analizei complexe, în principiu, nu există nicio diferență care dintre regiunile pur și simplu conectate din plan să fie luate în considerare - conform teoremei Riemann, toate sunt echivalente (cu excepția planului însuși). Cercul unitar și semiplanul superior sunt cel mai frecvent utilizate . Atât cercul unitar, cât și semiplanul pot fi privite ca jumătăți ale sferei Riemann , tăiate de un cerc mare .

Cu toate acestea, pentru studiile legate de seriile de putere , este mai convenabil să se ia în considerare cercuri (vezi cercul de convergență ).

Alte semnificații

În principiu, un „cerc unitar” poate fi numit un cerc de rază unitară cu un centru nu neapărat la zero (originea) și nu pe planul euclidian.