Polinoamele Cebyshev

Polinoame Chebyshev de primul fel
informatii generale
Formulă	$T_{n}(x)=\sum _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^ {k}x^{{n-2k}}$
Produs scalar	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}f(x)g( x)dx}$
Domeniu	$[-1,1]$
caracteristici suplimentare
Numit după	Cebyshev, Pafnuty Lvovici

Polinoame Chebyshev de al doilea fel
informatii generale
Formulă	$U_{n}(x)=\sum _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2} -1)^{k}x^{{n-2k}}$
Produs scalar	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}$
Domeniu	$[-1,1]$
caracteristici suplimentare
Numit după	Cebyshev, Pafnuty Lvovici

Polinoame Chebyshev - două secvențe de polinoame ortogonale și numite după Pafnuty Lvovich Chebyshev : $T_{n}(x)$ $U_{n}(x),n=\{0,1,\dots \},$

Polinomul Chebyshev de primul fel este caracterizat ca un polinom de grad cu cel mai mare coeficient , care se abate cel mai puțin de la zero pe interval . Prima dată luată în considerare de Cebyshev însuși. $T_{n}(x)$ $n$ $2^{{n-1}}$ $[-1,1]$

Polinomul Chebyshev de al doilea fel este caracterizat ca un polinom de grad cu cel mai mare coeficient , a cărui integrală a valorii absolute pe segment ia cea mai mică valoare posibilă. Pentru prima dată luate în considerare în munca comună a doi studenți ai lui Cebyshev - Korkin și Zolotarev . $U_{n}(x)$ $n$ $2^{n}$ $[-1,1]$

Polinoamele Chebyshev joacă un rol important în teoria aproximărilor , deoarece rădăcinile polinoamelor Chebyshev de primul fel sunt folosite ca noduri în interpolarea prin polinoame algebrice .

Definiții

Formule recurente

Polinoamele Chebyshev de primul fel pot fi definite folosind relația recursivă : $T_{n}(x)$

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

Polinoamele Chebyshev de al doilea fel pot fi definite folosind relația recursivă: $U_{n}(x)$

U_{0}(x)=1

U_{1}(x)=2x

U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).

Formule explicite

Polinoamele Chebyshev sunt soluții ale ecuației lui Pell :

T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1

în inelul de polinoame cu coeficienți reali și satisface identitatea:

T_{n}(x)+U_{{n-1}}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^ {n}.

Ultima identitate implică și formule explicite:

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1))) ^{n}}{2}}=\sum _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1 )^{k}x^{{n-2k}};

U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{n+1}}-(x-{\sqrt {x^{2}- 1)))^{{n+1}}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\ rfloor }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{{n-2k}}.

Rapoarte

$U_{n+m}(x)=U_{n}(x)U_{m}(x)-U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)$

$m=n+1,\quad U_{2n+1}(x)=2U_{n}(x)[xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)]$

$m=n,\quad U_{2n}(x)=[U_{n}(x)+U_{n-1}(x)]\centerdot [U_{n}(x)-U_{n -1}(x)].$

$U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x)=[U_{n}(x)+1]\cdot [U_{n}(x)-1].$

$T_{n+1}(x)=xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).$

$T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

acestea. Polinoamele Chebyshev de primul fel, cu regula înmulțirii , formează un semigrup izomorf cu semigrupul multiplicativ al numerelor întregi nenegative. $T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(x)\times T_{m}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

Definiție trigonometrică

Polinoamele Chebyshev de primul fel pot fi, de asemenea, definite folosind egalitatea $T_{n}(x)$

T_{n}(\cos \theta)=\cos(n\theta)

sau, aproape echivalent,

T_{n}(z)=\cos {\big (}n\arccos(z){\big )}.

Polinoamele Chebyshev de al doilea fel pot fi, de asemenea, definite folosind egalitatea $U_{n}(x)$

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big ))){\sin \theta )).

Exemple

Câteva primele polinoame Chebyshev de primul fel

T_{0}(x)=1\;

T_{1}(x)=x\;

T_{2}(x)=2x^{2}-1\;

T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;

Câteva primele polinoame Chebyshev de al doilea fel

U_{0}(x)=1\;

U_{1}(x)=2x\;

U_{2}(x)=4x^{2}-1\;

U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;

U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;

U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;

U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;

U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;

Proprietăți

Polinoamele Chebyshev au următoarele proprietăți:

Polinoamele de grade pare sunt funcții pare, funcții impare - impare.
Suma coeficienților polinoamelor Chebyshev de primul fel este 1, iar coeficienții polinoamelor de al doilea fel este . $T_{k}(x)$ $U_{k}(x)$ $k+1$
Ortogonalitate față de produsul interior corespunzător (cu pondere pentru polinoamele de primul fel și pentru polinoamele de al doilea fel). $1/{\sqrt {1-x^{2)})$ ${\sqrt {1-x^{2)})$
Dintre toate polinoamele ale căror valori pe interval nu depășesc 1 în valoare absolută, polinomul Chebyshev are: $[-1,1]$
- cel mai mare coeficient senior,
- cea mai mare valoare în orice punct din exterior , $[-1,1]$
- dacă , atunci , unde este coeficientul unui polinom Chebyshev de primul fel, este coeficientul oricăruia dintre polinoamele considerate. $n\equiv k{\pmod {2}}$ $|a_{k-1}|+|a_{k}|\leqslant |t_{k}|$ $t_k$ $a_{k}$
Zerourile de polinoame Chebyshev sunt noduri optime în diferite scheme de interpolare. De exemplu, în metoda caracteristicilor discrete, care este adesea folosită în studiul ecuațiilor integrale în electrodinamică și aerodinamică.
La capete și la mijlocul segmentului sunt valabile următoarele relații: ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1,&T_{n}(-1)&=(-1)^{n},&T_{2n}(0)&=(- 1)^{n},&T_{2n+1}(0)&=0,\\U_{n}(1)&=n+1,&U_{n}(-1)&=(-1)^ {n}\cdot (n+1),&U_{2n}(0)&=(-1)^{n},&U_{2n+1}(0)&=0.\end{aligned}}$
Polinomul Chebyshev de primul fel de grad N este un caz special al figurilor Lissajous cu un raport de frecvență egal cu N și o amplitudine a ambelor semnale egală cu 1.
Polinoamele Chebyshev de primul și al doilea fel corespund unei perechi de secvențe Lucas și cu parametri : ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ $(P,Q)=(2x,1)$ ${\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),$ ${\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).$
Polinomul Cebyshev de primul fel de grad are cea mai mare lungime de arc pe un segment din clasa tuturor polinoamelor de grad cel mult astfel încât maximul modulului lor pe acest segment să nu depășească și să nu fie identic egal cu o constantă [1 ] $n$ $[-1,1]$ $n$ $unu$

Aplicații

Teoria aproximării

Polinoamele Chebyshev de primul fel sunt utilizate pentru aproximarea unei funcții (seria Chebyshev), dacă alte metode de calcul al funcției sunt consumatoare de timp sau forma analitică a acesteia este necunoscută (de exemplu, dacă funcția este dată de un tabel compilat pe baza datelor experimentale). Pentru a face acest lucru, domeniul de definire al funcției aproximate trebuie să fie într-un mod destul de simplu, de exemplu, mapat liniar la intervalul de ortogonalitate al polinoamelor de aproximare, în acest caz este . De exemplu, pentru o funcție definită de tabel: $[-1,1]$

l\colon X_{i}\to [-1,1],

unde este o mapare liniară, este domeniul de definire a punctelor. $l$ $X_{i}$

O aproximare a funcțiilor date continuu se obține prin eliminarea termenilor seriei Chebyshev, a căror valoare este mai mică decât eroarea dorită a rezultatului. Funcția de aproximare poate fi scrisă și ca polinom în . Spre deosebire de aproximațiile obținute folosind alte serii de puteri, această aproximare minimizează numărul de termeni necesari pentru a aproxima o funcție printr-un polinom cu o precizie dată. Legat de aceasta este și proprietatea că aproximarea bazată pe seria Chebyshev se dovedește a fi destul de apropiată de cea mai bună aproximare uniformă (dintre polinoamele de același grad), dar este mai ușor de găsit. $X$

Un exemplu de mapare care mapează un interval dat la zona de ortogonalitate a polinoamelor, $l$

l\colon [x_{\text{min}),x_{\text{max})]\la [-1,1],

ar putea fi o funcție

l(x)={\frac {2x-(x_{\text{max}}+x_{\text{min}})}{x_{\text{max}}-x_{\text{min }}}}.

Calculul rețelelor de antene

Polinoamele Chebyshev sunt folosite pentru a calcula matricea de antene . Puterea de radiație a fiecărei antene este calculată folosind polinoamele Chebyshev. Acest lucru vă permite să controlați forma modelului de radiație sau mai degrabă raportul dintre amplitudinea lobilor principali și laterali.

Aplicații în teoria filtrării

Polinoamele Chebyshev sunt, de asemenea, folosite în construcția teoretică a filtrelor . În formula generală pentru caracteristica amplitudine-frecvență

$\left|H_{n}(j\omega)\right|={\frac {1}{\sqrt {1+f_{n}^{2}\left({\dfrac {\omega }{ \omega _{0}}}\right)}}}$

ca expresie a formei sau se substituie , unde este indicele de ondulare, obținându-se, respectiv, răspunsul în frecvență al filtrelor Chebyshev de ordinul I sau II . $f(x)$ $\varepsilon T_{n}(x)$ $\left(\varepsilon T_{n}(x)\right)^{-1)$ $\varepsilon$ $n$

Variații și generalizări

Problema polinoamelor normei minime cu coeficienți fix la două grade mai mari a fost luată în considerare mai târziu de Zolotarev , polinoamele pe care le-a găsit se numesc polinoame Zolotarev .
polinoame Faber

Note

↑ Bakan A. Despre o proprietate extremă a polinoamelor Chebyshev // Mathematics today. Culegere științifică / Ed. prof. A. Ya. Dorogovtseva . - Kiev, școala Vishcha, 1982. - S. 167-172.

Literatură

Vasil'ev, N. Cebyshev polinoame și relații recurente / Vasil'ev, N., Zelevinsky, A. // Kvant . - 1982. - Nr 1. - S. 12-19.
Campe de Ferrier, J. Functions of Mathematical Physics / Campe de Ferrier, J. , Campbell, R., Petiot, G. … [ et al. ] . — M .: Fizmatlit, 1963.
Khovansky, A. G. Polinoamele Chebyshev și inversiunile lor // Educație matematică . - 2013. - Emisiune. 17. - S. 93-106.
Cursul 7 în Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi