Polinoame Jacobi

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 octombrie 2018; verificările necesită 2 modificări .

Polinoame ortogonale Jacobi
informatii generale
Formulă	${\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \alegeți m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aliniat}}$
Produs scalar	$(f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta}f(x)g(x )\,dx}$
Domeniu	$[-1,\;1]$
caracteristici suplimentare
Ecuație diferențială	${\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\ alfa +\beta +1)y=0\end{aliniat}}$
Numit după	Carl Jacobi

Polinoamele Jacobi (sau polinoamele Jacobi ) sunt o clasă de polinoame ortogonale. Numit după Carl Gustaf Jacob Jacobi .

Definiție

Ele provin din funcții hipergeometrice în cazurile în care următoarele serii sunt finite [1] :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1 }\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),

unde este simbolul Pochhammer (pentru factorul de creștere ) , și astfel este derivată expresia $(\alpha +1)_{n}$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\ beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \alegeți m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma ( \alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},

De unde una dintre valorile finale este următoarea

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.

Pentru întreg $n$

{z \alege n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1))),

unde este funcția gamma obișnuită și $\Gamma(z)$

{z \alege n}=0\quad {\text {pentru)}\quad n<0.

Aceste polinoame satisfac condiția de ortogonalitate

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )} (x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta + 1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!)}}\delta _{nm} ,

pentru și . $\alpha >-1$ $\beta >-1$

Există o relație de simetrie pentru polinoamele Jacobi.

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z );

și, prin urmare, încă o semnificație a polinoamelor:

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.

Pentru un polinom Jacobi real se poate scrie după cum urmează. $X$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose ns}\left({\ frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},

unde si . $s\geqslant 0$ $ns\geqslant 0$

În cazul special când , , și sunt numere întregi nenegative, polinomul Jacobi poate lua următoarea formă $n$ $n+\alfa$ $n+\beta$ $n+\alpha +\beta$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha) -s)!(\beta +s)!(ns)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\ frac {x+1}{2}}\right)^{s}.

Suma este preluată peste toate valorile întregi pentru care factorii sunt integrali. $s$

Această formulă permite exprimarea matricei d Wigner ( ) în termeni de polinoame Jacobi $d_{m'm}^{j}(\varphi )$ $0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi$

d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+ \mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )

, [2] Unde

\mu =|mm'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2))(\mu +\nu )

Valoarea este determinată de formulă $\xi _{m'm)$

$\xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\ text{dacă }}m<m'\end{cases}}$

Derivate

$k$ --a derivată a unei expresii explicite duce la

{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)= {\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)))P_{nk}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).

Note

↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), „Capitolul 22” Arhivat la 17 august 2005 la Wayback Machine , Handbook of Mathematical Functions with Formule, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0 , MR0167642
↑ Varshalovich D. A., Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Teoria cuantică a momentului unghiular. — 1975.

Literatură

Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Funcții speciale , voi. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR : 1688958 , ISBN 978-0-521-62321-6 ; 978-0-521-78988-2 .
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S.C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials , NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi