Funcții Bessel modificate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Funcțiile Bessel modificate sunt funcții Bessel ale unui argument pur imaginar .

Dacă în ecuația diferențială Bessel

z^{2}{\frac {d^{2}\omega {dz^{2}}}+z{\frac {d\omega {dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

înlocuiți cu , va lua forma $\z$ $\iz$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega {dz^{2}}}+z{\frac {d\omega {dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Această ecuație se numește ecuația Bessel modificată .

Dacă nu este un număr întreg, atunci funcțiile Bessel și sunt două soluții liniar independente ale ecuației . Cu toate acestea, funcțiile sunt mai frecvent utilizate $\nu$ $J_{\nu }(iz)$ $J_{-\nu }(iz)$ $(unu)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{} 2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

și

I_{-\nu }(z).

Ele sunt numite funcții Bessel modificate de primul fel sau funcții Infeld . Dacă este un număr real și z este nenegativ, atunci aceste funcții iau valori reale. $\nu$

$\nu$ se numește ordinea funcției.

Funcţie

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }( z){\biggr ]}

este, de asemenea, o soluție a ecuației . Se numește funcție Bessel modificată de al doilea fel sau funcție Macdonald . Este evident că $(unu)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

și ia valori reale dacă este un număr real și este pozitiv. $\nu$ $z$

Funcții de ordine întregi

Deoarece , pentru un întreg , ca sistem fundamental de soluții al ecuației , alegem și unde $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ $\nu$ $(unu)$ $I_{n}(z)$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Relații recurente și formule de diferențiere

Funcții Bessel modificate de primul fel

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

Funcții Bessel modificate de al doilea fel

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Sistemul Wronskian de funcții Bessel modificate

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)} .

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Reprezentări integrale

Funcții Bessel modificate de primul fel

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

este funcția gamma .

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Funcții Bessel modificate de al doilea fel

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ frac {\pi }{2}}.

Comportament asimptotic

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{) z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi {2}}}{\frac {e^{-z)} {\sqrt {z)}}\left( 1+O\stânga({\frac {1}{z}}\dreapta)\dreapta),\qquad \left|z\right|\la \infty .

Caz special:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z)}}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Notă

Există o serie Schlömilch clasică în funcțiile j Bessel [1] [2]

Vezi și

Funcții cilindrice

Literatură

Watson G. Teoria funcţiilor Bessel. T. 1, 2. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Funcții transcendentale superioare. Funcții Bessel, Funcții de cilindru parabolic, Polinoame ortogonale: Bibliotecă matematică de referință. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 p.

Note

↑ Lyakhov L.N. Pe seria J Schlemilch. Declarații științifice. Seria "Matematica. Fizica". 2013. Nr 12 (155). Problema. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J.N. Watson. Teoria funcţiilor Bessel. (Carte). Capitolul XIX. Rânduri de Schlemilch

Link -uri

Weisstein, Eric W. Modificat Bessel Function of the First Kind (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. A modificat funcția Bessel de al doilea fel la Wolfram MathWorld .