Inegalitatea triunghiulară

Inegalitatea triunghiului în geometrie , analiza funcțională și disciplinele conexe este una dintre proprietățile intuitive ale distanței. Afirmă că lungimea oricărei laturi a unui triunghi este întotdeauna mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale. Inegalitatea triunghiului este inclusă ca axiomă în definiția unui spațiu metric , a unei norme etc.; de asemenea, este adesea o teoremă în diferite teorii.

Geometrie euclidiană

Inegalitate

AC\leqslant AB+BC,

rulează în orice triunghi . Mai mult , egalitatea se realizează numai atunci când triunghiul este degenerat , iar punctul se află strict între și . $\triunghi ABC$ $AC=AB+BC$ $B$ $A$ $C$

Elementele lui Euclid demonstrează inegalitatea triunghiului după cum urmează. În primul rând, se demonstrează o teoremă că unghiul extern al unui triunghi este mai mare decât unghiul intern care nu este adiacent acestuia. Din aceasta, se deduce o teoremă că un unghi interior mai mare se află opus laturii mai mari a triunghiului. În plus, prin contradicție, se demonstrează teorema că cea mai mare latură se află opusă celui mai mare unghi intern al unui triunghi. Și din această teoremă se deduce inegalitatea triunghiului.

Spațiu normat

Fie un spațiu vectorial normat , unde este o mulțime arbitrară și este o normă definită pe . Atunci, prin definiția acestuia din urmă, este adevărat: $(X,\|\cdot \|)$ $X$ $\|\cdot \|$ $X$

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\în X.

Spațiul Hilbert

În spațiul Hilbert , inegalitatea triunghiulară este o consecință a inegalității Cauchy-Bunyakovsky .

Spațiu metric

Fie un spațiu metric , unde este o mulțime arbitrară și este o metrică definită pe . Apoi, prin definiția ultimului $(X,\rho)$ $X$ $\rho$ $X$

\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.

Variații și generalizări

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Inegalitate puternică în triunghi

Inegalitatea triunghiului invers

O consecință a inegalității triunghiului în spațiile normate și metrice sunt următoarele inegalități:

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|xy\|,\quad x,y\in X;$
$|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

Inegalitatea triunghiului pentru un unghi triedric

Fiecare unghi plat al unui unghi triedric convex este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate ale sale.

Număr arbitrar de puncte

Să notăm distanța dintre punctele și . Atunci este valabilă următoarea inegalitate: . Se obține prin aplicarea succesivă a inegalității triunghiului pentru trei puncte: [1] $\rho (x_{i},x_{j})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+ \rho (x_{m-1},x_{m})$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho ( x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

Vezi și

Note

↑ Shilov G. E. Analiză matematică. Curs special. — M.: Fizmatlit, 1961. — P. 28