Număr normal

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 mai 2020; verificările necesită 4 modificări .

Un număr normal în baza n ( ) este orice număr real în care un grup arbitrar de k cifre consecutive apare în sistemul de numere n -ari cu aceeași frecvență asimptotică egală cu n - k pentru fiecare k = 1, 2, ....

Numerele care sunt normale atunci când sunt scrise la orice bază n se numesc normale sau absolut normale .

Proprietăți de bază și exemple

Orice număr rațional din notația pentru orice bază nu este normal. Aceasta rezultă din faptul că există o perioadă în notația unui număr rațional. De exemplu, 1/3 \u003d 0,33333 ... nu are o secvență predeterminată de numere în înregistrare și, prin urmare, nu este normal. Rezultă că numai numerele iraționale pot fi numere normale .

Întrucât înregistrarea unui număr normal conține orice succesiune predeterminată de cifre, rezultă că, pornind de la o anumită poziție digitală în înregistrarea oricărui număr normal, sunt codificate toate operele literare, imaginile, filmele etc. create și necreate. De exemplu, în notația zecimală a unui număr , secvența 0123456789 începe mai întâi cu 17.387.594.880 de zecimale. Până acum (din 2021), nu se știe dacă numărul este normal [1] .

Istorie

Conceptul de număr normal a fost introdus de Émile Borel în 1909 . Folosind lema Borel-Cantelli , el a demonstrat că măsura Lebesgue a numerelor nenormale este egală cu 0. Astfel, aproape toate numerele reale sunt normale. Pe de altă parte, numerele care nu au un 0 în notația lor zecimală nu sunt normale. Prin urmare, setul de numere anormale este de nenumărat .

D. Champernowne a demonstrat că numărul, care este concatenarea înregistrărilor zecimale ale numerelor întregi consecutive - 0,1234567891011121314151617…, este normal în baza 10 [2] . În același timp, nu se știe dacă acest număr este normal din alte motive. Pentru un număr similar 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, scris în notație binară , se demonstrează și că este normal în bază 2 [3] .

În 2002, Becher și Figueira [4] au demonstrat că există un număr absolut normal calculabil .

Probleme publice

Vezi și

Note

  1. ↑ Navarro, Joaquin Secretele lui pi. De ce problema pătrarii unui cerc este de nerezolvat. — M.: De Agostini, 2014. — 143 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 .
  2. ↑ DG Champernowne, Construcția zecimalelor normale în scara zece , Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
  3. ↑ Bailey, D.H.; Crandall, generatoare aleatoare RE și numere normale  // Exper. Matematică. - 2002. - T. 11 . - S. 527-546 .
  4. ↑ Becher, V. & Figueira, S. (2002), Un exemplu de număr absolut normal computabil , Theoretical Computer Science vol. 270: 947–958 , DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0 

Link -uri