Potenţial generalizat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 aprilie 2017; verificările necesită 2 modificări .

Potențial generalizat - conceptul de mecanică clasică , utilizat pentru calculul convenabil al forțelor generalizate care depind de viteze generalizate [1] .

Formulare

Să considerăm un sistem mecanic cu grade de libertate, cu energie cinetică și forțe generalizate . Aici peste tot . Luați în considerare expresia energiei potențiale sub forma unei funcții . Cerem ca ecuațiile Lagrange $s$ $T$ $Q_{m)$ $m=1,2,...,s$ $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}, ...,{\punct {q}}_{s},t)$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

arata ca

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m))}=0$ , unde , este potențialul generalizat. $L=TV$ $V$

Un potențial generalizat este o funcție care satisface ecuația $V$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

Să aflăm dependența funcției de vitezele generalizate. $V$

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q }}_{m}\partial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^{s}{\ frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac { \partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}$

Deoarece forțele generalizate nu depind în mod explicit de accelerațiile generalizate, potențialul generalizat poate fi doar o funcție liniară a vitezelor generalizate:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }(q_{m},t){\dot {q} }_{\mu ))$

Mai departe:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}={\frac {d\Pi _{m)){dt))-{\frac {\partial }{\partial q_{m))} \left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\dot {q))_{\mu }+\Pi \right]=\sum _{\mu =1 }^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _ {m)){\partial t))-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu )){\partial q_{m))}{\dot {q))_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\ suma _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\ mu )){\partial q_{m))}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m)){\partial t))$ .

În acest fel:

$Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m)}}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{ \dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$ , Unde ${\displaystyle \gamma _{m\mu}={\frac {\partial \Pi _{m)}{\partial q_{\mu ))} - {\frac {\partial \Pi _{\mu )} {\partial q_{m))))$

Dacă funcțiile nu depind în mod explicit de timp, atunci forțele generalizate sunt formate din forțe potențiale și forțe giroscopice . [2] $\Pi _{m)$ $-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}$ $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }$

Exemplu

Luați în considerare forța Lorentz care acționează asupra unei sarcini electrice punctuale într-un câmp electromagnetic: , unde este sarcina electrică, este viteza de încărcare, este puterea câmpului electric, este inducția câmpului magnetic, este viteza luminii. Potențialul generalizat pentru forța Lorentz poate fi introdus prin formula: , unde este potențialul scalar , este potențialul vectorial [3] [4] $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]$ $e$ $v$ $E$ $B$ $c$ $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\dot {x}}A_{x}+ {\punct {y}}A_{y}+{\punct {z}}A_{z}\right)$ $\phi$ $A$

Note

↑ Butenin, 1971 , p. 115.
↑ Butenin, 1971 , p. 117.
↑ Butenin, 1971 , p. 118.
↑ L. D. Landau E. M. Livshits Teoria câmpului, Fizmatgiz, 1962

Literatură

Butenin N.V. Introducere în mecanica analitică. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.