Potenţial scalar

Potențialul scalar al unui câmp vectorial (mai adesea doar potențialul unui câmp vectorial) este o funcție scalară astfel încât în toate punctele zonei de definire a câmpului $\mathbf {A}$ $\phi$

{\mathbf {A}}=\operatorname {grad}\,\phi ,

unde denota gradientul . În fizică, un potențial este de obicei numit o mărime care are semn opus (potențialul forței, potențialul câmpului electric). $\operatorname {grad}\phi$ $\phi$

Câmpuri potențiale

Un câmp se numește potențial dacă are un potențial scalar. Pentru un câmp potențial, integrala curbilinie dintre două puncte este:

\phi ({\mathbf r})=\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,d{\mathbf {r}}=\int \ limite _{a}^{b}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}}(t))\cdot {\mathbf {{\dot r}}}(t)\,dt

nu depinde de calea de integrare care leagă aceste puncte. Acest lucru este echivalent cu faptul că integrala peste orice contur închis este egală cu zero: $C=\stânga\{{\mathbf {r}}(t)|t\în [a,b]\dreapta\}$ $C$

\oint \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=0

În termeni fizici, aceasta înseamnă că munca mecanică de deplasare a unui corp de testare într-un câmp potențial de forță nu depinde de traiectoria mișcării, ci doar de poziția punctelor inițiale și finale ale traiectoriei.

Un câmp vectorial continuu într-o regiune pur și simplu conectată a spațiului tridimensional este potențial dacă și numai dacă este irrotațional :

{\mathbf {A}}=\operatorname {grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname {rot}\,{\mathbf {A}}=0

O generalizare a acestei teoreme la cazul unui spațiu arbitrar cu dimensiuni finite este lema lui Poincaré . Pentru astfel de spații, există un izomorfism între câmpurile vectoriale și 1-forme , problema existenței unui potențial reducându-se la problema inversării derivației exterioare . Lema lui Poincaré afirmă că orice formă închisă dintr-un domeniu simplu conex al unui spațiu finit-dimensional este exactă . $\mathbf {A}$ $\omega _{{{\mathbf {A}}}}$

Rețineți că în cazul general al unui spațiu neconexat, condiția de închidere nu este suficientă. Este ușor să verifici dacă câmpul este în avion

{\mathbf {A}}=\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2 }}}\dreapta)

este irotațional în orice regiune pur și simplu conectată care nu conține punctul $(0,0)$

\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=2\pi

pentru orice contur , o dată înconjurând originea în sens invers acelor de ceasornic. $C$

Potential newtonian

Din orice câmp vectorial din este posibil să se extragă componenta potențială a acestuia. Potențialul corespunzător acestuia poate fi scris în mod explicit fără a extinde câmpul în sine. Este determinat de o integrală numită potențial newtonian : $\mathbb {R} ^{3}$

\phi ({\mathbf {r}}_{0})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\ frac {\operatorname {div}\,{\mathbf {A}}}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV

În acest caz, divergența câmpului trebuie să scadă la infinit mai repede decât . În cazul unui câmp irotațional, această integrală oferă potențialul scalar al câmpului. ${\frac {1}{r^{2}}}$

Divergența poate fi identificată cu densitatea de sarcină . În special, pentru teren $\operatorname {div}\,{\mathbf {A}}$ $\rho ({\mathbf {r}})$

{\mathbf {A}}=-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{3}}}

obținem formula uzuală pentru potențialul gravitațional newtonian al unei mase punctiforme situate la origine:

\phi ({\mathbf {r}}_{0})=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\frac {\delta ({\mathbf {r}} )}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV={\frac {1}{r}}

unde este funcția tridimensională delta Dirac . $\delta ({\mathbf {r}})$

Potenţial scalar

Câmpuri potențiale

Potential newtonian

Vezi și