Limită unilaterală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 aprilie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Limită unilaterală în analiza matematică - limita unei funcții numerice , care implică „apropierea” de punctul limită pe o parte. Asemenea limite se numesc, respectiv, limita din stanga (sau limita din stanga ) si limita din dreapta ( limita dreapta ).

Definiții

Să fie dată o funcție numerică pe o mulțime numerică și numărul să fie punctul limită al domeniului de definiție . Există diferite definiții pentru limitele unilaterale ale unei funcții într-un punct , dar toate sunt echivalente. $M\subset \mathbb {R}$ $f\colon M\la \mathbb{R}$ $A$ $M$ $f \left(x \dreapta)$ $A$

Limita unilaterală a lui Heine

Un număr se numește limita din dreapta ( limită dreaptă , limită dreaptă ) a unei funcții într-un punct dacă pentru orice succesiune de puncte mai mare decât , care converge ea însăși către , secvența corespunzătoare de valori a funcției converge către . $A\în \mathbb{R}$ $f \left(x \dreapta)$ $A$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $A$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\ colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n \to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$
Un număr se numește limita din stânga ( limită din stânga , limită din stânga ) a unei funcții într-un punct dacă pentru orice succesiune de puncte mai mică decât , care converge ea însăși către , secvența corespunzătoare de valori a funcției converge către . [unu] $A\în \mathbb{R}$ $f \left(x \dreapta)$ $A$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $A$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{ n\la \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$

Limită Cauchy unilaterală

Un număr se numește limită dreaptă ( limită dreaptă , limită dreaptă ) a unei funcții într-un punct dacă pentru orice număr pozitiv se găsește un număr pozitiv corespunzător acestuia astfel încât inegalitatea să fie adevărată pentru toate punctele din interval . $A\în \mathbb{R}$ $f \left(x \dreapta)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $\left(a,a+\delta\dreapta)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon >0~\exists\delta =\delta\left(\varepsilon\right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$
Un număr se numește limită din stânga ( limită din stânga , limită din stânga ) a unei funcții într-un punct dacă pentru orice număr pozitiv se găsește un număr pozitiv corespunzător acestuia , astfel încât inegalitatea să fie adevărată pentru toate punctele din interval . [unu] $A\în \mathbb{R}$ $f \left(x \dreapta)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $\left(a-\delta,a\dreapta)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon >0~\exists\delta =\delta\left(\varepsilon\right)>0\ colon ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

Limită unilaterală ca limită de-a lungul unui filtru

Limita unilaterală este un caz special al conceptului general al limitei unei funcții de-a lungul unui filtru . Lasă și Apoi sistemele stabilite $M\subset {\mathbb {R}),$ $a \în M'.$

{\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}

și

{\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}

sunt filtre . Limitele de-a lungul acestor filtre sunt aceleași cu limitele unilaterale corespunzătoare:

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{+}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a+}}f(x);

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{-}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a-}}f(x).

Notație

Limita din dreapta este de obicei indicată prin oricare dintre următoarele metode: $\lim \limits _{{x\to a+}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a+0}}f(x),\ \ \lim _{{x\downarrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\searrow a}}f(x);$
În mod similar, pentru limitele din stânga, sunt acceptate următoarele notații: $\lim \limits _{{x\to a-}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a-0}}f(x),\ \ \lim _{{x\ în sus a}}f(x),\ \ \lim _{{x\narrow a}}f(x).$
De asemenea, sunt folosite următoarele abrevieri:
- $f\stânga(a+\dreapta)$ și pentru limita corectă; $f\stânga(a+0\dreapta)$
- $f\stânga(a-\dreapta)$ iar pentru limita din stânga. $f\stânga(a-0\dreapta)$

Când să reducă notația, în loc de și , se scrie de obicei și, respectiv. $a=0$ $\lim \limits _{x\to 0+0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to 0-0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to +0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to -0}f(x)$

Proprietăți

Principalele proprietăți ale limitelor unilaterale sunt identice cu cele ale limitelor obișnuite și sunt cazuri speciale ale proprietăților limitelor de-a lungul unui filtru.
Pentru existența unei limite (bilaterale) a unei funcții , este necesar și suficient ca ambele limite unilaterale să existe și să fie egale între ele. [unu]

Exemple

Funcția numerică de identitate
- $f\stanga(x\dreapta)=x$
- Domeniu: $\mathbb {R}$
- Limita dreapta: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a+0}}x=a$
- Limită din stânga: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a-0}}x=a$
- Limitele din dreapta și din stânga sunt aceleași, deci există limita obișnuită: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a}}x=a$
Funcție definită în bucăți
- $f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases} }$
- Domeniu: $\mathbb{R} \setminus \left\{3\right\}$
- Limita dreapta: $\lim _{{x\to 3+0}}f\left(x\right)=11$
- Limită din stânga: $\lim _{{x\to 3-0}}f\left(x\right)=9$
- Limitele din dreapta și din stânga sunt diferite, deci nu există o limită obișnuită într-un punct $x=3$
funcția sgn(x).
- $f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}$
- Domeniu: $\mathbb {R}$
- Limita dreapta: $\lim _{{x\to 0+0}}\operatorname{sgn} \left(x\right)=+1$
- Limită din stânga: $\lim _{{x\to 0-0}}\operatorname{sgn} \left(x\right)=-1$
- Limitele din dreapta și din stânga sunt diferite, deci nu există o limită obișnuită într-un punct $x=0$

Vezi și

Limita functiei

Note

↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 3. Teoria limitelor // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .