Filtru (Matematică)

Un filtru este un subset al unui set parțial ordonat care îndeplinește anumite condiții. Conceptul provine din topologia generală , unde filtrele apar pe rețeaua tuturor submulțimii oricărei mulțimi ordonate după relația de includere. Filtrul este un concept dual cu cel ideal .

Filtrele au fost introduse de Henri Cartan în 1937 [1] [2] și ulterior utilizate de Nicola Bourbaki în cartea lor Topologie Générale ca alternativă la conceptul similar de rețea , dezvoltat în 1922 de E. G. Moore și G. L. Smith.

Definiție în cadrul teoriei rețelelor

O submulțime a unei semirețele se numește filtru dacă $F$ $L$

pentru toată lumea , $a,b\în F$ $a\land b\in F$
pentru toată lumea și astfel încât , $a\în F$ $b$ $a\leq b$ $b\in F$

Se spune că un filtru este nativ dacă . $F\neq L$

Un filtru propriu astfel încât să nu existe alte filtre proprii care îl conțin se numește ultrafiltru sau filtru maxim .

Un filtru de zăbrele se numește simplu dacă, din toate acestea , rezultă că fie , fie . $F$ $a,b\în L$ $a\lor b\in F$ $a\în F$ $b\in F$

Filtrul minim care conține elementul dat se numește filtrul principal generat de elementul principal . $X$ $X$

Dacă filtru, atunci este ideal . $F$ $L\backslash F$

Filtru de algebră booleană

Un filtru pe o algebră booleană este o submulțime pentru care sunt îndeplinite condițiile [3] : $M$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Un filtru pe o algebră booleană se numește ultrafiltru dacă este îndeplinită următoarea condiție: $D$ $M$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Un filtru de algebră booleană se numește simplu dacă îndeplinește condiția: $D$ $M$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Se spune că un filtru pe o algebră booleană este maxim dacă nu este conținut în niciun alt filtru pe . $D$ $M$ $M$

Filtre pe seturi

Un caz special al unui filtru este un filtru pe un set. Pentru fiecare set , puteți defini o rețea a submulțimii sale . Apoi, filtrul activat este definit ca un subset care satisface următoarele condiții [4] : $X$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $X$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F}}$
intersecția oricăror două elemente se află în $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
supersetul oricărui element se află în $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

Un filtru de vizualizare se numește filtru generat de set . Un filtru generat de un set de un element este numit principal . Filtrul principal este un ultrafiltru. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Baza de filtrare

Să fie un filtru pe platou . O familie de submulțimi se numește baza (baza) filtrului dacă orice element al filtrului conține un element al bazei , adică pentru oricare există astfel încât . În acest caz, filtrul coincide cu familia tuturor supersețiilor posibile de mulțimi din . În special, filtrele care au o bază comună sunt aceleași. Se mai spune că baza generează un filtru $\mathfrak F$ $X$ ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\subset Y$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Pentru ca o familie de submulțimi ale unei mulțimi să fie baza unui filtru pe , este necesar și suficient ca următoarele condiții ( axiome de bază ) să fie îndeplinite: ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ $X$ $X$

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \nu \in {\mathfrak {B}}$ ;
pentru orice există astfel încât $A,B\in {\mathfrak {B}}$ $C\in {\mathfrak {B}}$ $A\cap B\supset C$ .

Două baze și sunt numite echivalente dacă orice element conține un element și invers, orice element conține un element . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B)}'$ $B'\in {\mathfrak {B)}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$

Baze echivalente generează același filtru. Printre toate bazele echivalente cu o bază dată , există o bază care este maximă în ceea ce privește includerea, și anume filtrul generat de această bază . Astfel, există o corespondență naturală unu-la-unu între clasele de baze echivalente și filtre. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Comparația filtrelor

Lăsați setul să aibă două filtre și . Se spune că un filtru majorează un filtru ( mai puternic , mai subțire ) dacă . În acest caz, se spune că filtrul este, de asemenea, majorat de filtru ( mai slab , mai grosier ). $X$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$

Ei spun că baza este mai puternică decât baza și scrie dacă vreun element conține un element . Baza este mai puternică decât baza dacă și numai dacă filtrul generat de bază este mai puternic decât filtrul generat de bază . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B)}'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Bazele și sunt echivalente dacă și numai dacă ambele și . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Filtre în spații topologice

Fie un spațiu topologic și să fie un filtru pe mulțime . Un punct se numește limita unui filtru dacă orice vecinătate a punctului aparține filtrului . Denumire: . Dacă este singura limită de filtru, atunci scrieți și . $(X,{\mathcal {T))$ $\mathfrak F$ $X$ $a\în X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $A$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ $A$ $a=\lim {\mathfrak {F}}$

Pentru un filtru generat de bază , punctul este limita sa dacă și numai dacă orice vecinătate conține în întregime un set de la . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $A$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

Într -un spațiu topologic Hausdorff , un filtru poate avea cel mult o limită. Este adevărat și invers: dacă fiecare filtru are cel mult o limită, atunci spațiul este Hausdorff.

Un punct se numește punct limită (punct de contact, limită parțială) al filtrului dacă aparține închiderii oricărui set din , adică pentru toate . În mod echivalent, pentru orice vecinătate a punctului și pentru orice , . Orice punct limită al unui ultrafiltru este limita acestuia. $a\în X$ $\mathfrak F$ $A$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)$ $A$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnothing$

Într -un spațiu topologic compact , orice filtru are un punct limită, iar orice ultrafiltru are o limită.

Exemple

Mulțimea tuturor vecinătăților unui punct dintr-un spațiu topologic este un filtru;
Dacă este o mulțime infinită, atunci mulțimea de complemente de mulțimi finite este un filtru. Un astfel de filtru se numește filtru final sau filtru Fréchet . $X$
Dacă este o mulțime infinită de cardinalități , atunci mulțimea de complemente ale seturilor de cardinalități este, de asemenea, un filtru. $X$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak {m)}$

Vezi și

Note

↑ H. Cartan, „Théorie des filtres” Arhivat la 11 mai 2015 la Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, „Filtres et ultrafiltres” Arhivat la 14 octombrie 2015 la Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , p. 22.
↑ Aleksandrian, 1979 , p. 100.

Literatură

Aleksandryan R. A. , Mirzakhanyan E. A. Topologie generală. - M . : Şcoala superioară, 1979. - 336 p.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Probleme în teoria mulțimilor, logica matematică și teoria algoritmilor. — M .: Nauka, 1975. — 240 p.