Rotunjire

Rotunjirea este înlocuirea unui număr cu valoarea sa aproximativă (cu o anumită precizie ), scrisă cu mai puține cifre semnificative. Modulul diferenței dintre numărul înlocuit și numărul înlocuit se numește eroare de rotunjire .

Rotunjirea este utilizată pentru a reprezenta valori și rezultate de calcul cu atâtea zecimale cât este exact măsurarea sau precizia de calcul, sau așa cum este cerut de aplicația particulară. Rotunjirea în calculele manuale poate fi folosită și pentru simplificarea calculelor în cazurile în care eroarea introdusă de eroarea de rotunjire nu depășește limitele erorii de calcul admisibile.

Rotunjire generală și terminologie

Rotunjirea unui număr scris în sistemul numeric pozițional cu M zecimale se poate face „până la a K-a zecimală”, unde K ≤ M. Cu această rotunjire, numerele sunt aruncate în înregistrarea din dreapta (MK) a semnificațiilor semnificative. cifre, iar cifra K-a după virgulă se poate modifica (consultați #Metode ). Se folosește și terminologia indicând unitatea celei mai mici cote zecimale care se păstrează pentru un număr rotunjit, adică „rotunjirea la zecimi”, „... la sutimi”, „... la miimi”, etc. (corespunde cu rotunjirea la unu, doi, trei și așa mai departe alte zecimale). Cazul special în care K=0 se numește „rotunjire în sus”.
Când cifrele semnificative ale părții întregi a numărului sunt aruncate în timpul rotunjirii, ele vorbesc despre „rotunjire la zeci” (sute, mii și așa mai departe), renunțând, respectiv, unul, două, trei sau mai multe caractere. Cu această rotunjire, cifrele aruncate ale părții întregi a numărului sunt înlocuite cu zerouri.
Pentru numerele reprezentate în formă normalizată , se vorbește despre „rotunjirea la K (semnificative) cifre”. În acest caz, mantisa numărului reține K cifre semnificative, cifrele rămase din dreapta sunt aruncate.

Metode

Câmpuri diferite pot utiliza metode diferite de rotunjire. În toate aceste metode, semnele „în plus” sunt setate la zero (se aruncă), iar semnul care le precede este corectat după o anumită regulă.

Rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg

Rotunjirea la cel mai apropiat număr este cea mai frecvent utilizată rotunjire, în care un număr este rotunjit la un întreg, modulul diferenței cu care acest număr are un minim. În general, atunci când un număr din sistemul zecimal este rotunjit la a N-a zecimală, regula poate fi formulată după cum urmează:

dacă N+1 caracter < 5 , atunci al N-lea caracter este reținut și N+1 și toate caracterele ulterioare sunt setate la zero;
dacă N+1 cifră ≥ 5 , atunci a N-a cifră este mărită cu unu, iar N+1 și toate cele ulterioare sunt setate la zero;

De exemplu: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. Eroarea absolută suplimentară maximă introdusă de această rotunjire (eroare de rotunjire) este ±0,5 din ultima cifră stocată.

Rotunjirea

Rotunjire în sus (rotunjire în sus +∞, rotunjire în sus, plafon englezesc - lit. „tavan”) - dacă caracterele care trebuie anulate nu sunt egale cu zero, semnul precedent este mărit cu unu dacă numărul este pozitiv sau salvat dacă numărul este negativ. În jargonul economic - rotunjirea în favoarea vânzătorului , creditorului (persoana care primește banii). În special, 2,6 → 3, −2,6 → −2. Eroarea de rotunjire este în intervalul +1 față de ultima cifră stocată.

Rotunjire în jos

Rotunjire în jos (rotunjire în jos la −∞, rotunjire în jos, etaj în engleză - literal „floor”) - dacă caracterele nullabile nu sunt egale cu zero, semnul anterior este păstrat dacă numărul este pozitiv sau mărit cu unu dacă numărul este negativ. În jargonul economic - rotunjirea în favoarea cumpărătorului , a debitorului (persoana care dă banii). Aici 2,6 → 2, −2,6 → −3. Eroarea de rotunjire este în -1 din ultima cifră stocată.

Rotunjirea modulo

Rotunjirea (rotunjirea spre infinit, rotunjirea de la zero) este o formă de rotunjire relativ rar folosită. Dacă caracterele nullabile nu sunt egale cu zero, caracterul precedent este incrementat cu unu. Eroarea de rotunjire este +1 ultima cifră pentru numerele pozitive și -1 ultima cifră pentru numerele negative .

Rotunjirea in jos modulo

Rotunjirea la cel mai mic modulo (rotunjire la zero, fix englezesc întreg , truncare, întreg ) este cea mai „simplu” rotunjire, deoarece după ce se pune la zero caracterele „în plus”, semnul anterior se păstrează, adică tehnic constă în eliminarea în plus. personaje. De exemplu, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1). Cu o astfel de rotunjire se poate introduce o eroare în unitatea ultimei cifre stocate, iar în partea pozitivă a axei numerice eroarea este întotdeauna negativă, iar în partea negativă este pozitivă.

Rotunjire aleatorie

Rotunjire aleatoare - rotunjire în sus sau în jos într-o ordine aleatorie, în timp ce probabilitatea de rotunjire este egală cu partea fracțională. Această metodă face din acumularea erorilor o variabilă aleatoare cu așteptări matematice zero .

Opțiuni pentru rotunjirea 0,5 la cel mai apropiat număr întreg

O descriere separată este cerută de regulile de rotunjire pentru cazul special când al- lea caracter (N + 1) = 5 și caracterele ulterioare sunt egale cu zero . Dacă în toate celelalte cazuri rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg oferă o eroare de rotunjire mai mică, atunci acest caz particular se caracterizează prin faptul că pentru o singură rotunjire este formal indiferent dacă este „sus” sau „jos” - în ambele cazuri o eroare se introduce exact in 1/2 din cifra cea mai putin semnificativa . Există următoarele variante ale regulii de rotunjire la cel mai apropiat număr întreg pentru acest caz:

Rotunjire matematică - rotunjirea este întotdeauna în sus (cifra anterioară este întotdeauna mărită cu unu).
Rotunjirea la cel mai apropiat număr par (în engleză este cunoscută sub numele de rotunjirea bancherului engleză - „rounding the banker”) - rotunjirea pentru acest caz are loc la cel mai apropiat număr par , adică 2,5 → 2; 3,5 → 4.
Rotunjire aleatoare - rotunjire în sus sau în jos aleatoriu, dar cu probabilitate egală (poate fi folosit în statistici).
Rotunjire alternativă - rotunjire în sus sau în jos alternativ.

În toate cazurile, când semnul (N + 1) nu este egal cu 5 sau semnele ulterioare nu sunt egale cu zero, rotunjirea are loc după regulile uzuale: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Rotunjirea matematică corespunde pur și simplu formal regulii generale de rotunjire (vezi mai sus). Dezavantajul său este că la rotunjirea unui număr mare de valori, care vor fi apoi procesate împreună, poate apărea acumularea erorii de rotunjire . Un exemplu tipic: rotunjirea la ruble întregi a sumelor de bani exprimate în ruble și copeici. Într-un registru de 10.000 de linii (presupunând că partea de copeck a fiecărei sume este un număr aleatoriu cu o distribuție uniformă, care este de obicei destul de acceptabilă), vor exista o medie de aproximativ 100 de linii cu sume care conțin valoarea 50 în partea de copecă. Când toate aceste linii sunt rotunjite conform regulilor de rotunjire matematică „în sus”, suma „totalului” conform registrului rotunjit va fi cu 50 de ruble mai mult decât cea exactă.

Celelalte trei opțiuni tocmai sunt inventate pentru a reduce eroarea totală a sumei la rotunjirea unui număr mare de valori. Rotunjirea „la cel mai apropiat par” presupune că, cu un număr mare de valori rotunjite care au 0,5 în restul rotunjit, în medie, jumătate dintre ele vor fi la stânga și jumătate la dreapta celui mai apropiat par, astfel erorile de rotunjire. se vor anula reciproc. Strict vorbind, această ipoteză este adevărată numai atunci când mulțimea de numere care se rotunjește are proprietățile unei serii aleatoare, ceea ce este de obicei adevărat în aplicațiile de contabilitate în care vorbim de prețuri, sume în conturi etc. Dacă ipoteza este încălcată, atunci rotunjirea „la par” poate duce la erori sistematice. Pentru astfel de cazuri, următoarele două metode funcționează cel mai bine.

Ultimele două opțiuni de rotunjire asigură că aproximativ jumătate din valorile speciale vor fi rotunjite într-un fel și jumătate rotunjite în celălalt sens. Dar implementarea unor astfel de metode în practică necesită eforturi suplimentare pentru organizarea procesului de calcul.

Rotunjirea aleatoare necesită generarea unui număr aleator pentru fiecare rând rotunjit. Când se utilizează numere pseudoaleatoare generate printr-o metodă liniară recurentă, operația de înmulțire, adunare și împărțire modulo este necesară pentru a genera fiecare număr, ceea ce poate încetini semnificativ calculele pentru cantități mari de date.
Rotunjirea intercalată necesită stocarea unui flag care indică în ce mod a fost rotunjită ultima valoare specială și schimbarea valorii acestui flag cu fiecare operațiune.

Notație

Operația de rotunjire a unui număr x la unul mai mare ( sus ) se notează astfel: . În mod similar, rotunjirea în jos ( în jos ) se notează cu . Aceste simboluri (precum și denumirile în limba engleză pentru aceste operațiuni - respectiv, plafon și podea , lit. „tavan” și „pardoseală”) au fost introduse [1] de K. Iverson în lucrarea sa A Programming Language [2] , care a descris sistemul de notație matematică, dezvoltat ulterior în limbajul de programare APL . Notația lui Iverson pentru operațiile de rotunjire a fost popularizată de D. Knuth în cartea sa The Art of Programming [ 3] . $\lceil x\rceil$ $\lfloor x\rfloor$

Prin analogie, rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg este adesea notată ca . În unele lucrări anterioare și moderne (până la sfârșitul secolului al XX-lea) s-a indicat astfel rotunjirea în jos; această utilizare a acestei notații se întoarce la lucrarea lui Gauss din 1808 (a treia sa demonstrație a legii pătratice a reciprocității ). În plus, aceeași notație este folosită (cu un înțeles diferit) în notația Iverson . [unu] $\left[ x \right]$

Următoarele caractere sunt fixate în standardul Unicode :

Nume în Unicode	Cod în Unicode		Vedere	Mnemonice în HTML 4	Note
Nume în Unicode	hexazecimal	zecimal	Vedere	Mnemonice în HTML 4	Note
TAVAN STÂNGA (și APL la sus)	2308	8968	⌈	⌈	a nu se confunda cu: U+2E22 ⸢ - Jumătatea din stânga sus U+300C「-Consola din colțul din stânga
TAVAN DREAPTA	2309	8969	⌉	⌉	a nu se confunda cu: U+20E7 ◌⃧ — Simbol de anuitate combinată U+2E23 ⸣ - Jumătate din dreapta sus
ETAJ STÂNGA (de asemenea APL jos)	230A	8970	⌊	&etaj;	a nu se confunda cu: U+2E24 ⸤
ETAJ DREPT	230B	8971	⌋	⌋	a nu se confunda cu: U+2E25 ⸥ U+300D」-Consola de colț din dreapta

Aplicații

Rotunjirea este utilizată pentru a lucra cu numere în cadrul numărului de cifre care corespunde acurateței reale a parametrilor de calcul (dacă aceste valori sunt valori reale măsurate într-un fel sau altul), precizia de calcul realizabilă în mod realist, sau precizia dorită a rezultatului. În trecut, rotunjirea valorilor intermediare și rezultatul a fost de importanță practică (deoarece atunci când se calculează pe hârtie sau se folosește dispozitive primitive, cum ar fi abacul , luarea în considerare a zecimalelor suplimentare poate crește serios volumul de muncă). Acum rămâne un element al culturii științifice și inginerești. În aplicațiile de contabilitate, în plus, poate fi necesară utilizarea rotunjirii, inclusiv a celor intermediare, pentru a proteja împotriva erorilor de calcul asociate cu capacitatea de biți finiți a dispozitivelor de calcul.

În plus, unele studii folosesc rotunjirea vârstei pentru a măsura calculul . Acest lucru se datorează faptului că persoanele mai puțin educate tind să-și rotunjească vârsta în loc să dea vârsta exactă. De exemplu, în evidențele oficiale ale populațiilor cu niveluri mai scăzute de capital uman , vârsta de 30 de ani este mai frecventă decât vârsta de 31 sau 29 de ani [4] .

Rotunjire atunci când se ocupă de numere de precizie limitată

Mărimile fizice reale sunt întotdeauna măsurate cu o anumită precizie finită , care depinde de instrumentele și metodele de măsurare și este estimată prin abaterea maximă relativă sau absolută a valorii adevărate necunoscute față de cea măsurată, care în reprezentarea zecimală a valorii corespunde fie cu un anumit număr de cifre semnificative sau la o anumită poziție în intrarea numărului, toate numerele de după (în dreapta) sunt nesemnificative (se află în eroarea de măsurare ). Parametrii măsurați în sine sunt înregistrați cu un astfel de număr de caractere încât toate cifrele sunt de încredere, poate că ultima este îndoielnică. Eroarea în operațiile matematice cu numere de precizie limitată este păstrată și se modifică conform legilor matematice cunoscute, astfel încât atunci când în calculele ulterioare apar valori intermediare și rezultate cu un număr mare de cifre, doar o parte din aceste cifre sunt semnificative. Cifrele rămase, fiind prezente în valori, nu reflectă de fapt nicio realitate fizică și iau timp doar pentru calcule. Ca urmare, valorile intermediare și rezultatele în calcule cu precizie limitată sunt rotunjite la numărul de zecimale care reflectă acuratețea reală a valorilor obținute. În practică, se recomandă de obicei să stocați încă o cifră în valori intermediare pentru calcule manuale lungi „în lanț”. Când se folosește un computer, rotunjirile intermediare în aplicațiile științifice și tehnice își pierd cel mai adesea sensul și numai rezultatul este rotunjit.

Deci, de exemplu, dacă o forță de 5815 gf este dată cu o precizie de un gram de forță și o lungime a umărului de 1,40 m cu o precizie de un centimetru, atunci momentul forței în kgf conform formulei , în cazul a unui calcul formal cu toate semnele, va fi egal cu: 5,815 kgf • 1, 4 m \u003d 8,141 kgf • m . Totuși, dacă luăm în considerare eroarea de măsurare, atunci obținem că eroarea relativă limită a primei valori este 1/5815 ≈ 1.7•10 −4 , a doua este 1/140 ≈ 7.1•10 −3 , eroarea relativă. a rezultatului conform regulii de înmulțire a erorii de operare (la înmulțirea valorilor aproximative se adună erorile relative) va fi 7,3•10 −3 , ceea ce corespunde erorii absolute maxime a rezultatului ±0,059 kgf•m! Adică, în realitate, ținând cont de eroare, rezultatul poate fi de la 8,082 la 8,200 kgf•m, astfel, în valoarea calculată de 8,141 kgf•m, doar prima cifră este complet de încredere, chiar și a doua este deja îndoielnică ! Va fi corect să rotunjiți rezultatul calculelor la prima cifră îndoielnică, adică la zecimi: 8,1 kgf•m sau, dacă este necesar, o indicație mai precisă a marjei de eroare, prezentați-l într-o formă rotunjită la unu. sau două zecimale cu indicarea erorii: 8 .14 ± 0,06 kgf•m . $M=(mg)\cdot h$

Rotunjirea valorii de eroare calculată

De obicei, doar primele una sau două cifre semnificative rămân în valoarea finală a erorii calculate. Conform uneia dintre regulile aplicate, dacă valoarea erorii începe cu cifrele 1 sau 2 [5] (conform unei alte reguli - 1, 2 sau 3 [6] ), atunci în ea sunt stocate două cifre semnificative, în alte cazuri - unul, de exemplu: 0 ,13; 0,26; 0,3; 0,8. Adică, fiecare deceniu de valori posibile ale erorii rotunjite este împărțit în două părți. Dezavantajul acestei reguli este că eroarea relativă de rotunjire se modifică semnificativ atunci când trece de la 0,29 la 0,3. Pentru a elimina acest lucru, se propune împărțirea fiecărui deceniu de posibile valori de eroare în trei părți, cu o schimbare mai puțin accentuată a pasului de rotunjire. Apoi, o serie de valori de eroare rotunjite permise pentru utilizare iau forma:

0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.0.

Cu toate acestea, atunci când se folosește o astfel de regulă, ultimele cifre ale rezultatului în sine, rămase după rotunjire, trebuie să corespundă și seriei date [5] .

Recalcularea valorilor mărimilor fizice

Recalcularea valorii unei mărimi fizice de la un sistem de unități la altul trebuie efectuată păstrând acuratețea valorii inițiale. Pentru a face acest lucru, valoarea inițială într-o unitate ar trebui înmulțită (împărțită) cu un factor de conversie, care conține adesea un număr mare de cifre semnificative, iar rezultatul trebuie rotunjit la numărul de cifre semnificative care asigură acuratețea valorii inițiale. . De exemplu, când convertiți o valoare a forței de 96,3 tf într-o valoare exprimată în kilonewtoni (kN), valoarea inițială ar trebui înmulțită cu un factor de conversie de 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN). Rezultatul este o valoare de 944,380395 kN, care trebuie rotunjită la trei cifre semnificative. În loc de 96,3 tf obținem 944 kN [7] .

Regulile generale pentru aritmetica de rotunjire

În cazurile în care nu este nevoie să se ia în considerare cu precizie erorile de calcul, dar este necesară doar o estimare aproximativă a numărului de numere exacte ca rezultat al calculului prin formula, puteți utiliza un set de reguli simple pentru calcule rotunjite [ 8] :

Toate valorile brute sunt rotunjite la precizia reală a măsurării și înregistrate cu numărul corespunzător de cifre semnificative, astfel încât în notație zecimală toate cifrele să fie de încredere (este permis ca ultima cifră să fie îndoielnică). Dacă este necesar, valorile sunt înregistrate cu zerouri semnificative din dreapta, astfel încât numărul real de caractere de încredere să fie indicat în înregistrare (de exemplu, dacă o lungime de 1 m este măsurată efectiv la cel mai apropiat centimetru, „1,00 m” este scris astfel încât să se poată vedea că două caractere sunt de încredere în înregistrare după virgulă zecimală) sau precizia este indicată în mod explicit (de exemplu, 2500 ± 5 m - aici doar zeci sunt de încredere și ar trebui rotunjite la ele) .
Valorile intermediare sunt rotunjite cu o cifră „de rezervă”.
La adunarea și scăderea, rezultatul este rotunjit la ultima zecimală a celui mai puțin precis dintre parametri (de exemplu, la calcularea unei valori de 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, rezultatul este rotunjit la zecimi de metru, adică este, la 2,6 m). Totodată, se recomandă efectuarea calculelor într-o astfel de ordine încât să se evite scăderea numerelor apropiate ca mărime și să se efectueze operații asupra numerelor, dacă este posibil, în ordinea crescătoare a modulelor acestora.
La înmulțirea și împărțirea, rezultatul este rotunjit la cel mai mic număr de cifre semnificative pe care îl au factorii sau dividendul și divizorul. De exemplu, dacă un corp cu mișcare uniformă a parcurs o distanță de 2,5⋅103 metri în 635 de secunde , atunci când se calculează viteza, rezultatul ar trebui rotunjit la 3,9 m/s , deoarece unul dintre numere (distanța) este cunoscut. numai cu o precizie de două cifre semnificative. Notă importantă: dacă un operand în timpul înmulțirii sau un divizor în timpul împărțirii este un număr întreg (adică nu rezultatul măsurării unei mărimi fizice continue cu o precizie a unităților întregi, ci, de exemplu, o cantitate sau doar o constantă întreagă ), atunci numărul de cifre semnificative din acesta este precizia rezultatului operației nu este afectat, iar numărul de cifre rămase este determinat doar de al doilea operand. De exemplu, energia cinetică a unui corp cu o masă de 0,325 kg care se mișcă cu o viteză de 5,2 m / s este egală cu $E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0,325\cdot 5,2^{2}}{2}}=4,394\aproximativ 4,4$ J - rotunjită la două zecimale (în funcție de numărul de cifre semnificative din valoarea vitezei), și nu la unu (divizorul lui 2 în formulă), deoarece valoarea 2 este o constantă de formulă întreagă, este absolut exactă și nu afectează acuratețea calculelor (formal, un astfel de operand poate fi considerat „măsurat cu un număr infinit de semnificative cifre”).
Când ridicați la o putere, ca rezultat al calculului, ar trebui să lăsați atâtea cifre semnificative câte are baza gradului.
Atunci când extrageți o rădăcină de orice grad dintr-un număr aproximativ, ca rezultat, trebuie luate atâtea cifre semnificative câte numărul rădăcină are.
Când se calculează valoarea unei funcții , este necesar să se estimeze valoarea modulului derivatei acestei funcții în vecinătatea punctului de calcul. Dacă , atunci rezultatul funcției este exact la aceeași zecimală ca și argumentul. În caz contrar, rezultatul conține mai puține zecimale exacte cu , rotunjite la cel mai apropiat număr întreg. $f \left(x \dreapta)$ $\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 1$ $\log _{10}\left(\left|f'\left(x\right)\right|\right)$

În ciuda lipsei de strictețe, regulile de mai sus funcționează destul de bine în practică, în special din cauza probabilității destul de mari de anulare reciprocă a erorilor, care de obicei nu este luată în considerare atunci când erorile sunt luate în considerare cu exactitate.

Greșeli

Destul de des există abuzuri ale numerelor nerotunde. De exemplu:

Notați numerele care au o precizie scăzută, în formă nerotunjită. În statistică: dacă 4 persoane din 17 au răspuns „da”, atunci scriu „23,5%” (în timp ce „24%” este corect, deoarece numărul de cifre semnificative din datele sursă nu este mai mare de două ).
Utilizatorii pointerului gândesc uneori astfel: „indicatorul s-a oprit între 5,5 și 6 mai aproape de 6, să fie 5,8” - un astfel de raționament este incorect. ( Calibrarea instrumentului, de regulă, corespunde exactității sale reale, corect ar fi să se fixeze valoarea „6”.

Fapt interesant

Carl Friedrich Gauss nota: „Neajunsurile educației matematice se manifestă cel mai clar în acuratețea excesivă a calculelor numerice” [9] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Floor Function - de la Wolfram MathWorld . Preluat la 8 august 2015. Arhivat din original la 5 septembrie 2015. (nedefinit)
↑ Iverson, Kenneth E. Un limbaj de programare . - Wiley, 1962. - ISBN 0-471-43014-5 . Copie arhivată (link indisponibil) . Data accesului: 8 august 2015. Arhivat din original pe 4 iunie 2009. (nedefinit)
↑ Knut D. E. Arta programarii. Volumul 1. Algoritmi de bază = The Art of Computer Programming. Volumul 1. Algoritmi fundamentali / ed. S. G. Trigub (Cap. 1), Yu. G. Gordienko (Cap. 2) și I. V. Krasikova (Sec. 2.5 și 2.6). - 3. - Moscova: Williams, 2002. - T. 1. - 720 p. — ISBN 5-8459-0080-8 .
↑ A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). „Cuantificarea alfabetizării cantitative: creșterea vârstei și istoria capitalului uman”, Journal of Economic History 69, 783-808.
↑ 1 2 Rotunjirea rezultatelor măsurătorilor . www.metroologie.ru Preluat la 10 august 2019. Arhivat din original la 16 august 2019. (nedefinit)
↑ 1.3.2. Reguli pentru rotunjirea valorilor de eroare și înregistrare . StudFiles. Preluat la 10 august 2019. Arhivat din original la 10 august 2019. (Rusă)
↑ Reguli pentru recalcularea valorilor mărimilor fizice | Unități de mărimi fizice . sv777.ru. Preluat la 8 august 2019. Arhivat din original la 8 august 2019. (nedefinit)
↑ V. M. Zavarykin, V. G. Jitomirsky, M. P. Lapchik. Tehnica de calcul și algoritmizare: Curs introductiv: Manual pentru studenții institutelor pedagogice de fizică și matematică. - M: Educaţie, 1987. 160 p.: ill.
↑ cit. după V. Gilde, Z. Altrichter. — Cu un calculator în mână. A doua editie. Traducere din germană de Yu. A. Danilov. M: Mir, 1987, p. 64.

Literatură

Henry S. Warren, Jr. Capitolul 3 Rotunjirea la puterile lui 2 // Trucuri algoritmice pentru programatori = Hacker's Delight. - M . : „Williams” , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .

Link -uri

Standard SEV ST SEV 543-77 „Numere. Reguli de scriere și... | Dokipedia . dokipedia.ru. Data accesării: 8 august 2019. Arhivat la 8 august 2019. (nedefinit)