Complement ortogonal

Complementul ortogonal al unui subspațiu al unui spațiu vectorial cu formă biliniară este mulțimea tuturor vectorilor ortogonali fiecărui vector din . Această mulțime este un subspațiu vectorial , care este de obicei notat cu . $W$ $V$ $B$ $V$ $W$ $V$ $W^{\bot )$

Definiție

Fie un spațiu vectorial peste un câmp cu o formă biliniară . Un vector este ortogonal stânga la un vector , iar un vector este ortogonal la dreapta unui vector dacă și numai dacă Complementul ortogonal stâng al unui subspațiu este mulțimea de vectori stânga ortogonal fiecărui vector , adică. $V$ $F$ $B$ $u$ $v$ $v$ $u$ $B(u,v)=0.$ $W$ $W$

W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.

Complementul ortogonal drept este definit în mod similar. Prin urmare, pentru o formă biliniară simetrică sau oblică-simetrică , definițiile complementelor ortogonale stânga și dreapta sunt aceleași. $B(u,v)=0\Leftrightarrow B(v,u)=0,$

Definiția poate fi transferată în cazul unui modul liber peste un inel comutativ . [unu]

Proprietăți

Complementul ortogonal este un subspațiu, adică este închis sub adunare vectorială și înmulțire cu un element de câmp.
Dacă , atunci $X\subseteq Y$ $Y^{\bot }\subseteq X^{\bot }.$
Radicalul unei forme biliniare este un subspațiu al oricărui complement ortogonal.
$W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }.$
Dacă forma este nedegenerată și spațiul este finit-dimensional, atunci $B$ $V$ $\mathrm {dim} \;W+\mathrm {dim} \;W^{\bot }=\mathrm {dim} \;V.$
Dacă este un spațiu euclidian de dimensiune finită și este un produs scalar (sau un spațiu unitar și, respectiv, un produs scalar hermitian), atunci pentru orice subspațiu se extinde într-o sumă directă și [2] $V$ $B$ $W\subseteq V$ $V$ $W$ $W^{\bot }.$

Exemplu

Fie un spațiu bidimensional cu baza , iar matricea formei biliniare din această bază are forma Atunci complementul ortogonal al subspațiului acoperit de vector este mulțimea de vectori astfel încât De exemplu, complementul ortogonal al spațiului acoperit de vector coincide cu el însuși, în timp ce complementul ortogonal este acoperit de către vectorul . $V$ $e_{1},e_{2)$ ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.$ $ae_{1}+be_{2)$ $xe_{1}+ye_{2},$ $ay+bx=0.$ $e_{1}$ $\langle e_{1}+e_{2}\rangle$ $e_{1}-e_{2)$

Note

↑ Adkins, Weintraub (1992) p.359
↑ Maltsev A.I., Fundamentele algebrei liniare, p.212.

Literatură

Maltsev AI Fundamentele algebrei liniare. - al 3-lea. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: O abordare prin teoria modulelor, Texte pentru absolvenți în matematică 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9 , Zbl 0768.00003
Halmos, Paul R. (1974), Spații vectoriale cu dimensiuni finite, Texte de licență în matematică, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3 , Zbl 0288.15002