Spațiu unitar

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Un spațiu unitar este un spațiu vectorial peste câmpul numerelor complexe cu un produs scalar hermitian [1] [2] definit pozitiv , un analog complex al spațiului euclidian .

Definiție

Produsul scalar hermitian într-un spațiu vectorial peste câmpul numerelor complexe este o formă liniară unu și jumătate care satisface condiția suplimentară [3] : $\mathbb {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x}, \mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x}, \mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ unde este cuantificatorul universal . $\pentru toți$

Cu alte cuvinte, aceasta înseamnă că funcția îndeplinește următoarele condiții [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) liniaritatea produsului scalar în raport cu primul argument:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

iar egalitățile sunt valabile:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(uneori în definiție iau în schimb liniaritate în al doilea argument, ceea ce nu este important, deoarece datorită condiției sunt echivalente) $(\forall \mathbf {x}, \mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x}, \mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) proprietatea hermitiană a produsului scalar:

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

egalitate corectă

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) definiția pozitivă a produsului scalar:

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

si numai cand

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Proprietăți

Pe un spațiu real, condiția de seschilinearitate este echivalentă cu biliniaritatea, iar Hermitianitatea cu simetriile, iar produsul interior devine o funcție simetrică biliniară pozitiv-definită . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\times {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
O formă sesquiliniară este hermitiană dacă și numai dacă [3] , când pentru toți vectorii funcția ia doar valori reale. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x\în {\mathbb L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Diferențele față de spațiul euclidian

Spațiile unitare au toate proprietățile spațiilor euclidiene, cu excepția a patru diferențe: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
conceptul de unghi nu are sens de fond;
Matricea Gram a unui sistem de vectori este hermitiană $\Gamma (f)=f^{T}f$ $f$ $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri despre algebra liniară, Moscova: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear Algebra and Geometry, Fizmatlit, Moscova, 2009.

Note

↑ A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin. Algebră liniară și geometrie. - S. 126.
↑ A. E. Umnov. Geometrie analitică și algebră liniară. - Moscova: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. - cap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Spații liniare și mapări. - M., Universitatea de Stat din Moscova , 1987. - p. 51-52