Parametrizare Feynman

Parametrizarea Feynman este o metodă de evaluare a integralelor în buclă închisă care decurg din diagramele Feynman cu unul sau mai multe cicluri. Cu toate acestea, uneori este util atunci când se integrează în domeniul matematicii pure .

Formule

Richard Feynman a observat că:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}

în plus, formula este valabilă pentru orice numere complexe A și B, dacă 0 nu este conținut în segmentul de linie care leagă A și B. Formula ajută la evaluarea integralelor, cum ar fi:

\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p) +(1-u)B(p)\right]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1 -u)B(p)\dreapta]^{2}}}.

Dacă A (p) și B (p) sunt funcții liniare ale lui p , atunci ultima integrală poate fi evaluată prin substituție.

Mai general, folosind funcția delta Dirac : [1] $\delta$

{\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1} \cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\ suma _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{ 1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\ stânga[A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\dots +u_{n-1}(A_{n}-A_{n-1})\right]^{ n}}}.\end{aliniat}}

Această formulă este valabilă pentru orice numere complexe A 1 ,. , ., A n dacă 0 nu este conținut în carcasa lor convexă .

Chiar și mai general, cu condiția ca pentru toți : ${\text{Re}}(\alpha _{j})>0$ $1\leq j\leq n$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n))))={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n))}}\int _{0}^{1 }du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_ {1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{ k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k))))

unde este funcția gamma . [2] $\gamma$

Concluzie

{\frac {1}{AB}}={\frac {1}{AB}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\dreapta )={\frac {1}{AB}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.

Acum doar transformați liniar integrala folosind substituția,

u=(zB)/(AB)

, care duce la

du=dz/(AB)

Unde

z=uA+(1-u)B

si obtinem rezultatul dorit:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}} .

În cazuri mai generale, derivarea se poate face foarte eficient folosind parametrizarea Schwinger . De exemplu, pentru a deriva forma parametrizată a lui Feynman În primul rând, reexprimăm toți factorii din numitor în forma lor parametrizată Schwinger: ${\frac {1}{A_{1}...A_{n)))$

{\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ { \text{pentru }}i=1,\ldots ,n

și notează

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n)}}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).

Apoi efectuăm următoarea modificare a variabilelor de integrare,

\alpha =s_{1}+...+s_{n},

\alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,

A obtine,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1 }\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{N-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots + \alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\ dreapta).

unde indică integrarea zonei cu , ${\displaystyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1))$ $0\leq \alpha _{i}\leq 1$ $\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1$

Următorul pas este să efectuați integrarea peste . $\alfa$

\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\ parțial (-x)^{n-1))}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n -1\dreapta)!}{x^{n}}}.

unde am definit $x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\ alfa _{n-1}\right)A_{n}.$

Înlocuind acest rezultat, obținem penultima formă,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left (1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},

iar după introducerea unei integrale suplimentare, ajungem la forma finală a parametrizării Feynman și anume:

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)} {[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.

În mod similar, pentru a deriva forma parametrizării Feynman din cazul cel mai general, : se poate începe cu o altă formă adecvată a parametrizării Schwinger în numitor, și anume: ${\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1)...A_{n}^{\alpha _{n})))$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1))))={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!)} \int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1))={\frac { 1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1 }-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)

și apoi procedați exact conform cazului anterior.

Forma alternativă

O formă alternativă de parametrizare care este uneori utilă este

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}} }.

Acest formular poate fi obținut cu o schimbare a variabilelor.Putem folosi regula produsului pentru a arăta că , atunci $\lambda =u/(1-u)$ $d\lambda =du/(1-u)^{2)$

{\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right ]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{ \frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[ \lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}

Mai general, avem

{\frac {1}{A^{m}B^{n)}}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)))\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m))},

unde este funcția gamma . $\gamma$

Această formă poate fi utilă atunci când se combină un numitor liniar cu un numitor pătratic , cum ar fi în teoria cuarcilor grei efectivi (HQET). $A$ $B$

Forma simetrică

Uneori este utilizată o formă simetrică de parametrizare, unde integrala de interval este efectuată în schimb , rezultând: $[-1,1]$

{\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right ]^{2}}}.

Note

↑ . - ISBN 978-0-521-67053-1 .
↑ Kristjan Kannike. Note despre parametrizarea Feynman și funcția Dirac Delta . Data accesului: 24 iulie 2011. Arhivat din original la 29 iulie 2007. (nedefinit)

Richard Feynman
Știința	Diagramele Feynman Diagrama Feynman cu o singură buclă Formula Feynman-Katz Teoria absorbției Wheeler-Feynman Formula Bethe-Feynman Teorema Hellmann-Feynman Notație slash Feynman parametrizare Feynman Formulare în termeni de integrale de cale Parton (particulă) propagator argument de mărgele lipicioase Teoria unui univers cu un singur electron Automat cuantic celular Comisia Rogers Tabla de șah Feynman Punctul Feynman Stropitor Feynman Clichet Feynman-Smoluchowski
Lucrări	„ Multy of Room Below ” (1959) „ Prelegerile Feynman despre fizică ” (1964) „ Natura legilor fizice ” (1965) „ QED este o teorie ciudată a luminii și materiei ” (1985) „ Bineînțeles că glumiți, domnule Feynman! » (1985) „ Ce îți pasă de ce cred alții? » (1988) „ Prelecția pierdută a lui Feynman ” (1997) „ Semnificația tuturor ” (1999) „ Plăcerea de a afla lucruri ” (1999) „ Abateri perfect rezonabile de la drumul bătut ” (2005)
Alte	Cultul științific al încărcăturii „ Omul cuantic: viața în știință a lui Richard Feynman ” (2011) Tuva sau Bust! Premiul Feynman pentru nanotehnologie „ Infinity ” (film, 1996) " QED " (piesa de teatru, 2001) " Challenger " (film, 2013)