Coordonatele Plücker

Coordonatele Plücker sunt coordonate (seturi de numere) care definesc subspații (de dimensiune arbitrară) ale unui vector sau spațiu proiectiv . Ele sunt o generalizare a coordonatelor omogene ale punctelor din spațiul proiectiv și sunt, de asemenea, definite până la înmulțire cu un factor arbitrar diferit de zero. Introdus pentru prima dată de Plücker în cazul particular al liniilor proiective în spațiul proiectiv tridimensional, care corespunde și cu cazul spațiilor vectoriale. $M$ $L$ $\dim M=2$ $\dim L=4$

Definiție în coordonate

Fie subspațiul -dimensional al spațiului vectorial -dimensional . Pentru a determina coordonatele Plücker ale subspațiului, alegem o bază arbitrară în și o bază arbitrară în . Fiecare vector are coordonate în baza , adică . Scriind coordonatele vectorilor ca șiruri de caractere, obținem matricea $M$ $m$ $n$ $L$ $M$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $L$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ $M$ $a_{i}$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n))$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

al cărui rang este . Se notează cu minorul matricei formate din coloane cu numere care au valori de la până la . Numerele nu sunt independente: dacă setul de indici este obținut dintr -o permutare , atunci are loc egalitatea , unde semnul plus sau minus corespunde dacă permutarea este pară sau impară. Considerat până la înmulțirea cu un factor comun diferit de zero, setul de numere pentru toate seturile ordonate de indici care iau valori de la până se numește coordonatele Plücker ale subspațiului . $m$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $A$ $i_{1},\;\ldots,\;i_{m)$ $unu$ $n$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ $\sigma \in S_{m)$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$ $\sigma$ $C_{n}^{m)$ $p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}$ $i_{1}<\ldots <i_{m)$ $unu$ $n$ $M$

Proprietăți

1. Independență față de alegerea bazei .

Dacă se alege o altă bază în subspațiu , atunci noul set de coordonate Plücker va arăta ca , unde este un factor diferit de zero. Într-adevăr, noua bază este legată de vechile relații , iar determinantul matricei este diferit de zero. Conform definiției coordonatelor Plücker și teoremei asupra determinantului produsului matricelor, avem , unde . $M$ $a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m)$ $p'_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c$ ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m))$ $(a'_{ij})$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c=\det(a'_{ij})$

2. Grassmanian .

Atribuind fiecărui subspațiu dimensional un set de coordonatele sale Plücker , asociem un punct al spațiului proiectiv al dimensiunii . Harta astfel construită este injectivă , dar nu surjectivă (adică imaginea ei nu coincide cu întregul spațiu ). Imaginea mulțimii subspațiilor toate -dimensionale ale spațiului -dimensional sub mapare este o varietate algebrică proiectivă -dimensională în , numită varietate Grassmann sau Grassmannian și notă cu sau . $m$ $M$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $M$ $P$ $C_{n}^{m}-1$ $g$ $P$ $m$ $n$ $g$ $m(nm)$ $P$ $G(m,\;n)$ $\mathrm {Gr} _{m}(L)$

3. Relații Plücker .

Criteriul prin care se poate determina dacă un punct dat al unui spațiu proiectiv aparține unui Grassmannian este așa-numitele relații Plücker : $P$ $G(m,\;n)$

\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r)} \cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r))},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \, (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),

unde toți indicii din seturi și iau valori de la până la , semnul indică omiterea indicelui de sub acesta. Această sumă este obținută dacă un index este eliminat din mulțime pe rând și acest indice este alocat în dreapta mulțimii , atunci cele două numere rezultate sunt înmulțite (rețineți că aceste numere sunt minore ale matricei , dar nu sunt neapărat Coordonatele Plücker, deoarece seturile indicilor lor nu sunt neapărat ordonate crescător) și apoi se ia suma tuturor acestor produse cu semne alternative. Relațiile Plücker sunt valabile pentru fiecare subspațiu -dimensional al . Și invers, dacă coordonatele omogene , , ale unui punct din spațiul proiectiv satisfac aceste relații, atunci acest punct, atunci când este mapat , corespunde unui subspațiu al lui , adică aparține lui . $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $unu$ $n$ ${\breve {))$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $p_{\alpha _{1},\;\ldots,\;\alpha _{m))=M_{\alpha _{1},\;\ldots,\;\alpha _{m))$ $A$ $m$ $M\subset L$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $i_{1}<\ldots <i_{m)$ $P$ $g$ $M\subset L$ $G(m,\;n)$

În limbajul matricelor, aceasta înseamnă: dacă numerele satisfac relațiile Plücker, atunci există o matrice pentru care sunt minore de ordin maxim, iar dacă nu, atunci nu există o astfel de matrice. Aceasta rezolvă problema posibilității de a restaura o matrice din minorele sale de ordine maximă, până la o transformare liniară a rândurilor. $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$

Exemplu

În cazul și avem , și prin urmare, fiecare plan din spațiul vectorial 4-dimensional are coordonatele Plücker: , , , , , . Alegând o bază în plan în așa fel încât și , obținem matricea $n=4$ $m=2$ $C_{4}^{2}=6$ $M$ $6$ $p_{12}$ $p_{13}$ $p_{14)$ $p_{23}$ $p_{24}$ $p_{34)$ $M$ $a_{1},\;a_{2)$ $a_{1}=e_{1}$ $a_{2}=e_{2}$

A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}),

de unde gasim:

p_{12}=1

, , , , , .

p_{13}=\gamma

p_{14}=\delta

p_{23}=-\alpha

p_{24}=-\beta

p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma

Evident, există o relație

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0

care se păstrează atunci când toate sunt înmulțite cu orice factor comun, adică nu depinde de alegerea bazei. Aceasta este relația Plücker, care definește o cvadrică proiectivă într-un spațiu proiectiv cu 5 dimensiuni. $p_{i_{1}i_{2))$ $G(2,\;4)$

Literatură

Kartan E. Sisteme diferențiale externe și problemele lor geometrice. - M . : Editura MSU, 1962.
Zelikin MI Spații omogene și ecuația Riccati în calculul variațiilor. - M . : Factorial, 1998.
Hodge V., Pido D. Metode de geometrie algebrică. - T. 1. - M. : IL, 1954. (Aici coordonatele Plücker se numesc coordonate Grassmann).
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M. : Fizmatlit, 2009.
Casas-Alvero E. Geometrie proiectivă analitică. - : Societatea Europeană de Matematică, 2014.